Упражнение 162 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{1{,}2\,x^2 - x y}{0{,}36\,x^2 - 0{,}25\,y^2} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x\cancel{(0,6x - 0,5y)}}{\cancel{(0,6x - 0,5y)}(0,6x + 0,5y)} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x}{0,6x + 0,5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x}{0,1(6x + 5y)} ^{\color{blue}{\backslash10}} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{20x}{6x + 5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

Тождество доказано.

б) \(\displaystyle \frac{4{,}5\,a + 4x}{0{,}81\,a^2 - 0{,}64\,x^2} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5\cancel{(0,9a+0,8x)}}{(0,9a-0,8x)\cancel{(0,9a+0,8x)}} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5}{(0,9a-0,8x)} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5}{0,1(9a-8x)} ^{\color{blue}{\backslash10}} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{50}{9a-8x} = \frac{50}{9a - 8x}\)

Тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождества, преобразуем их левые части, разложив на множители числители и знаменатели, для этого используем следующие приемы:

1) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

2) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

3) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Затем сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Далее в знаменателе выносим общий множитель за скобки так, чтобы в скобках получить целые коэффициенты. После, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10, получаем выражение такое же как и в правой части равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.

\( \left(\frac{9}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} +\frac{n}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right) : \left(\frac{3}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\frac{1}{n} ^{\color{blue}{\backslash{3n}}} +\frac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right)= \)

\(= \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2}=\)

\(= \frac{(3 + n)(9 - 3n + n^2)}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2}=\)

\(= \frac{(3 + n)\cancel{(9 - 3n + n^2)}\cdot \cancel{3n^2}}{\cancel{3n^2}\cdot\cancel{(9 - 3n + n^2)}} =\)

\(=3+n\) - при любом натуральном \(n\) является натуральным числом.

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4)  Формула суммы кубов:

\(\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - a b + b^2).\)

Пояснения к шагам:

1) дроби \(\frac{9}{n^2}\) и \(\frac{n}{3}\) приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и сложены.

2) три слагаемых \(\frac{3}{n^2}\), \(\frac{1}{n}\) и \(\frac{1}{3}\) также приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и объединены.

3) при делении дробей знаменатели \(3n^2\) сокращаются, остаётся \(\frac{n^3+27}{n^2-3n+9}\). По формуле суммы кубов разложили \(n^3+27\) на

\((n+3)(n^2-3n+9)\) и сократили общий множитель, получив натуральное число \(n+3\).