Упражнение 153 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\Bigl(\frac{6a+1}{a-3} ^{\color{blue}{\backslash{a+3}}} +\frac{6a-1}{a+3} ^{\color{blue}{\backslash{a-3}}} \Bigr)=\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} =\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6a^2+\cancel{18a}+\cancel{a}+3+6a^2-\cancel{18a}-\cancel{a}+3}{(a-3)(a+3)} =\)

\(= \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} =\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} =\)

\(=\frac{\cancel{(a^2-9)}\cdot6\cancel{(2a^2+1)}}{\cancel{(2a^2+1)}\cdot\cancel{(a^2-9)}} =6\)

б) \( \Bigl(\frac{5x+y}{x-5y} ^{\color{blue}{\backslash{x+5y}}} +\frac{5x-y}{x+5y} ^{\color{blue}{\backslash{x-5y}}} \Bigr):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=\)

\(=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{5x^2+\cancel{25xy}+\cancel{xy}+5y^2+5x^2-\cancel{25xy}-\cancel{xy}+5y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10x^2+10y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10\cancel{(x^2+y^2)}\cancel{(x^2-25y^2)}}{\cancel{(x^2-25y^2)}\cancel{(x^2+y^2)}}=10\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

7) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

А) Сначала свели две дроби к общему знаменателю, раскрыли произведения, сложили числители, вынесли общий множитель и сократили одинаковые множители.

Б) Аналогично: получили единый знаменатель, раскрыли скобки, сложили числители, вынесли общий множитель, а затем при делении на дробь сократили одинаковые множители.

а) \((a^2+2a+1)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\Bigr)=\)

\(= (a+1)^2\cdot\Bigl(\frac{1}{a+1} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} +\frac{1}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a+1}}} \Bigr) =\)

\(=(a+1)^2\cdot \frac{(a-1)+1-(a+1)}{a-1)(a+1)}=\)

\(=(a+1)^2\cdot \frac{\cancel{a}-1+\cancel{1}-\cancel{a}-\cancel{1}}{(a-1)(a+1)}=\)

\(=(a+1)^2\cdot\frac{-1}{(a-1)(a+1)}=\)

\(=-\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{(a-1)\cancel{(a+1)}}=-\frac{a+1}{a-1}=\)

\(=\frac{a+1}{-(a-1)}=\frac{a+1}{1-a}.\)

б) \(\Bigl(1 ^{\color{blue}{\backslash{12x}}} -\frac{9x^2+4}{12x}\Bigr):\Bigl(\frac{1}{3x} ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash{3x}}} \Bigr)+1=\)

\(=\frac{12x-(9x^2+4)}{12x}:\frac{2-3x}{6x}+1=\)

\(=\frac{12x-9x^2-4}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=\frac{-(4-12x+9x^2)}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=-\frac{(2-3x)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=-\frac{(2-3x)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{6x}}{_2  \cancel{12x}\cdot\cancel{(2-3x)}}+1=\)

\(=-\frac{2-3x}{2}+1=\frac{3x-2}{2}+1 ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{3x-2+2}{2} =\frac{3x}{2}.\)

в) \(1-\Bigl(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a-\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)

\(=1-\Bigl(\frac{2}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} \Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a ^{\color{blue}{\backslash4}} -\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)

\(=1-\frac{2(a+2)-2(a-2)}{a^2-4}\cdot\frac{4a-(3a+2)}{4}=\)

\(=1-\frac{\cancel{2a}+4-\cancel{2a}+4}{a^2-4}\cdot\frac{4a-3a-2}{4}=\)

\(=1-\frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot \frac{a-2}{4}=\)

\(=1-\frac{^2\cancel{8}\cdot\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}(a+2)\cdot\cancel{4}}=\)

\(=1 ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2}=\)

\(=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2}.\)

г) \((y^2-4)\Bigl(\frac{3}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} -\frac{2}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} \Bigr)+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{3y-6-2y-4}{y^2-4}+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5=\)

\(=\frac{\cancel{(y^2-4)}\cdot(y-10)}{\cancel{y^2-4}}+5=\)

\(=y-10+5=y-5.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Квадрат суммы двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).