Упражнение 152 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

a) \(\Bigl(\frac{2m+1}{2m-1} ^{\color{blue}{\backslash{2m+1}}} -\frac{2m-1}{2m+1} ^{\color{blue}{\backslash{2m-1}}} \Bigr) :\frac{4m}{10m-5}=\)

\(= \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5}=\)

\( = \frac{4m^2 + 4m + 1 - (4m^2 - 4m + 1)}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)

\( = \frac{\cancel{4m^2} + 4m + \cancel1 - \cancel{4m^2} + 4m - \cancel1}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)

\(=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{5(2m-1)} =\)

\(= \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot\; \frac{5(2m-1)}{4m} =\)

\( = \frac{^2\cancel{8m}\cdot5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)\cdot \cancel{4m}} =\)

\( = \frac{10}{2m+1}. \)

б) \( \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\biggl(\frac{x+3}{x-3} ^{\color{blue}{\backslash{x+3}}} + \frac{x-3}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} \biggr) =\)

\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} =\)

\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{x^2+\cancel{6x}+9 + x^2 -\cancel{6x}+9}{(x-3)(x+3)} =\)

\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)}= \)

\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \)

\(=\frac{\cancel{(x+3)}\cdot2\,\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}\cdot(x-3)\,\cancel{(x+3)}} =\)

\(=\frac{2}{x-3}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы:

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\);

7) Квадрат разности:

\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

9) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Пояснения к пункту а):

1. Для разности дробей привели к общему знаменателю

\((2m-1)(2m+1)\).

2. Раскрыли квадраты и вычислили разность:

\( (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = 8m. \)

3. Разделили полученную дробь на \(\frac{4m}{10m-5}\) через умножение на обратную дробь.

4. Представили \(10m-5\) как

\(5(2m-1)\) для сокращения с

\((2m-1)\), затем сократили множители \(m\) и \((2m-1)\).

Пояснения к пункту б):

1. Внутри скобок привели дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\) и сложили числители.

2. Раскрыли квадраты, получив

\(2x^2 + 18\), вынесли общий множитель 2: \(2(x^2+9)\).

3. Умножили на внешнюю дробь

\(\frac{x+3}{x^2+9}\), затем сократили

\((x^2+9)\) и \((x+3)\).

а) \( \frac{a^2-25}{a+3}\;\cdot\;\frac{1}{a^2+5a} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)

\(=\frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)

\(=\frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{(a+3)\cdot a\cancel{(a+5)}} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)

\(=\frac{a-5}{a(a+3)} ^{\color{blue}{\backslash{a-3}}} - \frac{a+5}{a(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash{a+3}}} =\)

\(=\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} =\)

\( =\frac{(a^2-3a-5a+15)-(a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)} =\)

\( =\frac{\cancel{a^2}-3a-5a+\cancel{15}-\cancel{a^2}-3a-5a-\cancel{15}}{a(a+3)(a-3)} =\)

\(=\frac{-16\cancel{a}}{\cancel{a}(a^2-9)} =-\frac{16}{a^2-9} \)

б) \( \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\)

\(= \frac{1-2x}{2x+1}+ \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3} = \)

\(= \frac{1-2x}{2x+1}+ \frac{x\cancel{(x+3)}\cdot2\cancel{(2x+1)}}{(2x-1)\cancel{(2x+1)}\cdot\cancel{(x+3)}}= \)

\(= \frac{1-2x}{2x+1} ^{\color{blue}{\backslash{2x-1}}} +\frac{2x}{2x-1} ^{\color{blue}{\backslash{2x+1}}} =\)

\(=\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)} =\)

\(=\frac{2x-1-\cancel{4x^2}+2x+\cancel{4x^2}+2x}{(2x+1)(2x-1)} =\)

\(=\frac{6x-1}{4x^2-1} \)

в) \( \frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\;\cdot\;\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=\)

\(=\frac{b-c}{a+b}- \frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} =\)

\(=\frac{b-c}{a+b}- \frac{b\cancel{(a-b)}\cdot\cancel{(a-c)}(a+c)}{a\cancel{(a-c)}\cdot\cancel{(a-b)}(a+b)}=\)

\(= \frac{b-c}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{b(a+c)}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{\cancel{ab}-ac-\cancel{ab}-bc}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{-ac-bc}{a(a+b)} =\frac{-c\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a+b)}} =-\frac{c}{a} \)

г) \( \frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}=\)

\(= \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}:\frac{a(a-2)}{y(x+3)}+\frac{2-y}{x-3}=\)

\(=\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{a(a-2)}+\frac{2-y}{x-3} =\)

\(=\frac{\cancel{(a-2)}(a+2)\cdot y\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}\cdot a\cancel{(a-2)}}+\frac{2-y}{x-3} =\)

\( =\frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{y(a+2)+a(2-y)}{a(x-3)} =\)

\(=\frac{\cancel{ay}+2y+2a-\cancel{ay}}{a(x-3)} =\)

\(=\frac{2a+2y}{a(x-3)}=\frac{2(a+y)}{a(x-3)} \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

В каждом пункте сначала выполнили умножение или деление дробей, разложив на множители числители и знаменатели дробей и, выполнив сокращение, затем выполнили действия сложения и ли вычитания, приводя дроби к общему знаменателю, после чего сократили одинаковые множители в числителе и знаменателе полученных дробей.