Упражнение 102 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{x^3+3x}{x+2} - \frac{3x^2-14x+16}{x^2-4} + 2x=\)

\(=\frac{x^3+3x}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} -\frac{3x^2-14x+16}{(x-2)(x+2)}+\frac{2x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x^2-4}}} =\)

\(=\frac{(x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} \)

\(=\frac{x^4-\cancel{2x^3}+\cancel{3x^2}-\cancel{6x}-\cancel{3x^2}+\cancel{14x}-16+\cancel{2x^3}-\cancel{8x}}{(x-2)(x+2)}= \)

\(=\frac{x^4-16}{(x-2)(x+2)} =\)

\(=\frac{\cancel{(x^2-4)}(x^2+4)}{\cancel{(x^2-4)}} =\)

\(=x^2+4>0\) при любых допустимых значениях \(x\). Что и требовалось доказать.

б) \(y + \frac{2y^2+3y+1}{y^2-1} - \frac{y^3+2y}{y-1}=\)

\(=\frac{y}{1} ^{\color{blue}{\backslash{y^2-1}}} +\frac{2y^2+3y+1}{(y-1)(y+1)}-\frac{y^3+2y}{y-1} ^{\color{blue}{\backslash{y+1}}} =\)

\(=\frac{y(y^2-1)+(2y^2+3y+1)-(y^3 + 2y)(y + 1)}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3 + 2y^2+2y)}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{\cancel{y^3}-\cancel{y}+\cancel{2y^2}+\cancel{3y}+1-y^4-\cancel{y^3} - \cancel{2y^2}-\cancel{2y}}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{-y^4+1}{(y-1)(y+1)} =-\frac{y^4-1}{(y-1)(y+1)} =\)

\(=-\frac{(y^2-1)(y^2+1)}{(y^2-1)} =-(y^2+1)<0\) при любых допустимых значениях \(y\).

Допустимые значения переменных:

а) \((x-2)(x+2) \neq0\)

\(x-2 \neq0\)   и   \(x+2\neq0\)

\(x \neq 2\)                \(x \neq-2\)

Допустимые значения переменной \(x\):

все числа, кроме \(2\) и \(-2\).

б) \((y-1)(y+1) \neq0\)

\(y-1 \neq0\)   и   \(y+1\neq0\)

\(y \neq 1\)                \(y \neq-1\)

Допустимые значения переменной \(y\):

все числа, кроме \(1\) и \(-1\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем формулу разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\);

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

a) Учитываем то, что квадрат любого числа является неотрицательным числом, поэтому \(x^2+4>0\) и значение исходного выражения является положительным числом.

б) Из того, что \((y^2+1)>0\), противоположное выражение

\(-(y^2+1)<0\) и значение исходного выражения является отрицательным числом.

5) Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель отличен от нуля, поэтому из допустимых значений переменных в рассматриваемых случаях исключаем те значения, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.

1) Доказательство:

\( \frac{1}{x+n} ^{\color{blue}{\backslash{x+n+1}}} -\frac{1}{x+n+1} ^{\color{blue}{\backslash{x+n}}} =\)

\(=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} =\)

\(=\frac{\cancel{x}+\cancel{n}+1-\cancel{x}-\cancel{n}}{(x+n)(x+n+1)} =\)

\(=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}. \)

2) \( \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}= \)

\( =\bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\bigr)= \)

\( = \frac{1}{x+1} - \cancel{\frac{1}{x+2}}+ \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4}= \)

\(= \frac{1}{x+1}^{\color{blue}{\backslash{x+4}}} - \frac{1}{x+4}^{\color{blue}{\backslash{x+1}}}= \)

\(= \frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\)

\(= \frac{\cancel{x}+4-\cancel{x}-1}{(x+1)(x+4)}=\)

\(=\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)

Пояснения:

Приемы использованные при доказательстве:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующее правило:

\(a-b = -(b-a)\).

Приемы использованные при упрощении:

1) Каждую из трёх дробей исходного выражения представили как разность двух дробей, что позволило при сложении сократить все «внутренние» члены.

2) Остались лишь первое и последнее слагаемые:

\(\frac{1}{x+1}\) и \(-\frac{1}{x+4}\).

3) Выполнив вычитание оставшихся членов получили упрощенное выражение:

\(\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)