Упражнение 59 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4} =\)

\(=\frac{16 - x^2}{x-4} = \frac{-(x^2 - 16)}{x-4} =\)

\(=-\frac{\cancel{(x-4)}(x+4)}{\cancel{x-4}} =\)

\(=-(x+4) = -x-4. \)

б) \( \frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5} = \frac{25 - a^2}{a+5} =\)

\(=\frac{-(a^2 - 25)}{a+5} = -\frac{(a-5) \cancel{(a+5)}}{ \cancel{a+5}} =\)

\(=-(a-5) = 5 - a. \)

в) \(\displaystyle \frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2}=\)

\( =\frac{3a-1 - (3b-1)}{a^2-b^2} =\)

\(=\frac{3a - 1 - 3b + 1}{(a-b)(a+b)} =\)

\(=\frac{3\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{3}{a+b}. \)

г) \(\displaystyle \frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}=\)

\( =\frac{x-3 + 11}{x^2-64} =\)

\(=\frac{\cancel{x + 8}}{(x-8)\cancel{(x+8)}} =\frac{1}{x-8}. \)

д) \(\displaystyle \frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2}=\)

\(= \frac{(2a+b) - (2b-5a)}{(a-b)^2} =\)

\(=\frac{2a + b - 2b +5a}{(a-b)^2} = \frac{7a - b}{(a-b)^2}. \)

е) \(\displaystyle \frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2}=\)

\(= \frac{(13x+6y) - (11x+4y)}{(x+y)^2} =\)

\(=\frac{13x + 6y - 11x - 4y}{(x+y)^2} =\)

\(=\frac{2x + 2y}{(x+y)^2} = \frac{2\cancel{(x+y)}}{(x+y)^{\cancel{2}}} = \frac{2}{x+y}. \)

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

3. После этого, если числитель и (или) знаменатель раскладываются на множители, ищем общий множитель и сокращаем его.

При разложении на множители использованы следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\);

- противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

а) \( \frac{a^2 - 43}{a - 6} + \frac{7}{a - 6} =\)

\(=\frac{a^2 - 43 + 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 36}{a - 6} =\)

\(=\frac{\cancel{(a - 6)}(a + 6)}{\cancel{a - 6}} = a + 6. \)

Если \(a = 10{,}25\), то

\( 10{,}25 + 6 = 16{,}25. \)

б) \( \frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} =\)

\(=\frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9} =\)

\(=\frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}= \)

\(=\frac{3\cancel{(b + 3)}}{(b - 3)\cancel{(b + 3)}} = \frac{3}{b - 3}. \)

Если \(b = 3{,}5\), то

\[ \frac{3}{3{,}5 - 3} = \frac{3}{0{,}5} =\frac{30}{5} = 6. \]

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

3. При необходимости дробь сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.

— в пункте а):

\(a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)\), что дает общий множитель \(a-6\) в числителе и знаменателе.

— в пункте б):

\(3b + 9 = 3(b + 3)\) и

\(b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)\), что дает общий множитель \(b+3\) в числителе и знаменателе.

4. После сокращения получаем простые выражения, в которые подставляем заданные значения переменных и выполняем вычисления.