Упражнение 38 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№38 учебника 2023-2025 (стр. 15):
(Для работы в парах.) Постройте график функций:
а) \(y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}\);
б) \(y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}\).
1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.
№38 учебника 2013-2022 (стр. 14):
Упростите выражения:
а) \(\displaystyle \frac{a - b}{b - a}\);
б) \(\displaystyle \frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{(a - b)^2}{b - a}\);
г) \(\displaystyle \frac{a - b}{(b - a)^2}\);
д) \(\displaystyle \frac{-a - b}{a + b}\);
е) \(\displaystyle \frac{(a + b)^2}{(-a - b)^2}.\)
Подсказка
№38 учебника 2023-2025 (стр. 15):
Вспомните:
- График линейной функции.
- Рациональные дроби.
- Основное свойство рациональной дроби (сокращение дробей).
- Область определения функции.
- Разложение многочленов на множители.
- Разность квадратов двух выражений.
- Линейное уравнение с одной переменной, их свойства.
- Вычитание рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
№38 учебника 2013-2022 (стр. 14):
Вспомните:
- Рациональные дроби.
- Основное свойство рациональной дроби (сокращение дробей).
- Противоположные выражения.
- Степень с натуральным показателем.
Ответ
№38 учебника 2023-2025 (стр. 15):
а) \(y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}=\)
\(=\dfrac{(x - 5)\cancel{(x+5)}}{2\cancel{(x + 5)}}=\dfrac{x - 5}{2}\)
\(2x+10\neq0\)
\(2x\neq -10\)
\(x\neq-\frac{10}{2}\)
\(x\neq-5\)
\(y = \dfrac{x - 5}{2}\)
| \(x\) | 1 | 3 |
| \(y\) | -2 | -1 |
б) \(y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}= \dfrac{x\cancel{(x^2 - 9)}}{\cancel{x^2 - 9}}= x\)
\(x^2 - 9\neq0\)
\((x - 3)(x+3)\neq0\)
\(x\neq3\) и \(x\neq-3\)
\(y=x\)
| \(x\) | 1 | 4 |
| \(y\) | 1 | 4 |
Пояснения:
Сначала сокращаем дробные выражения, представляющие данные функции. Для этого раскладываем на множители числитель и знаменатель и сокращаем на общий множитель. При разложении на множители используем следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ac + bc = (a + b)c\);
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Также при построении графика помним то, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, на графике исключаем:
— для функции (a): учитываем разрыв в точке с \(x=-5\) (делаем эту точку "выколотой");
— для функции (б): учитываем разрыв с \(x=3\) и \(x=-3\) (делаем эти точки "выколотыми").
№38 учебника 2013-2022 (стр. 14):
а) \(\frac{a - b}{b - a} = \frac{-\cancel{(b - a)}}{\cancel{b - a}} = -1\);
б) \(\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}=\frac{(a - b)^2}{(a - b)^2} =1\);
в) \(\frac{(a - b)^2}{b - a} =\frac{(b - a)^{\cancel{2}}}{\cancel{b - a}} =b-a\);
г) \(\frac{a - b}{(b - a)^2}=\frac{\cancel{a - b}}{(a-b)^{\cancel{2}}}=\frac{1}{(a-b)}\);
д) \( \frac{-a - b}{a + b}= \frac{-\cancel{(a + b)}}{\cancel{a + b}}=-1\);
е) \(\frac{(a + b)^2}{(-a - b)^2}=(\frac{(a + b)^2}{(a + b)^2}=1\).
Пояснения:
Использованные правила и приемы:
1. При изменении мест числителя и знаменателя внутри скобок с минусом: \(\;b - a = -(a - b)\).
2. Квадрат любого выражения нечувствителен к знаку:
\((b - a)^2 = (a - b)^2\);
\((-a-b)^2 = (a + b)^2\).
3. Для дробей вида
\(\tfrac{X^2}{X} = X\) и \(\tfrac{X}{X^2} = \tfrac{1}{X}\).
Вернуться к содержанию учебника