Упражнение 16 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 9

а) \(\displaystyle \frac{m+4}{6}=0\)

\(m+4=0\)

\(m=-4\).

Ответ: при \(m = -4\).

б) \(\displaystyle \frac{7-5n}{11}=0\)

\(7-5n=0\)

\(5n=7\)

\(n=\tfrac{7}{5} = 1\tfrac{2}{5}\).

Ответ: при \(n= 1\tfrac{2}{5}\).

в) \(\displaystyle \frac{b^2-b}{b+2}=0\)

\(b^2-b=0\)

\(b(b-1)=0\)

\(b=0\) или \(b-1=0\)

                  \(b=1\)

\(b+2\neq0\)

\(b\neq-2\).

Ответ: при \(b=0\) и \(b=1\).

г) \(\displaystyle \frac{y^2-25}{3y-15}=0\)

\(y^2-25=0\)

\((y-5)(y+5)=0\)

\(y - 5 = 0\) или \(y + 5 = 0\)

\(y=5\)               \(y=-5\)

\(3y-15\neq0\)

\(3y\neq15\)

\(y\neq \frac{15}{3}\)

\(y\neq5\).

Ответ: при \(y=-5\).

Пояснения:

Рациональная дробь \(\tfrac{A}{B}\) равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель \(A=0\), а знаменатель

\(B\neq0\).

1. В пункте а) и б) знаменатели постоянны (6 и 11) и не равны нулю, поэтому решаем только числитель.

2. В пункте в) числитель раскладываем на множители \(b(b-1)\), приравниваем к нулю, затем проверяем, что

\(b+2\neq0\).

3. В пункте г) числитель раскладывается по формуле разности квадратов как \((y-5)(y+5)\), решаем \(y=5\) или \(-5\), и отбрасываем то значение, при котором знаменатель обращается в ноль (\(y=5\)).

а) \(a > 0\) и \(b > 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} > 0\)

б) \(a > 0\) и \(b < 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} < 0\)

в) \(a < 0\) и \(b > 0\)

\(\displaystyle \frac{a}{b} < 0\)

г) \(a < 0\) и \(b < 0\).

\(\displaystyle \frac{a}{b} > 0\)

Пояснения:

Знак дроби определяется знаком числителя и знаменателя:

— Если числитель и знаменатель дроби одного знака (оба положительные или оба отрицательные), дробь положительна:

\[\frac{(+a)}{(+b)}>0,\quad \frac{(-a)}{(-b)}>0.\]

— Если числитель и знаменатель дроби разных знаков, дробь отрицательна:

\[\frac{(+a)}{(-b)}<0,\quad \frac{(-a)}{(+b)}<0.\]

Поэтому в случаях а) и г) дробь положительна, а в случаях б) и в) — отрицательна.