Упражнение 18 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 9

а) \(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\)

\(3>0\),    \(x^2+1>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\).

б) \(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} \)

\(-5<0\),     \(y^2+4>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} <0\)

в) \(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\)

\((a-1)^2\ge0\),    \(a^2+10>0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge0\)

г) \(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1}\)

\((b-3)^2\ge0\),     \(-b^2-1<0\), поэтому

\(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1} \le 0\)

Пояснения:

1. Квадрат любого числа неотрицателен: для любого \(t\) выполнено \(t^2\ge0\). Следовательно, суммы вида \(x^2+1\), \(y^2+4\), \(a^2+10\) всегда положительны.

2. Знаменатель в случае г) равен \(-\bigl(b^2+1\bigr)\), где \(b^2+1>0\), значит \(-b^2-1<0\).

3. Числители в пунктах а) и б) — числа\(3\) и \(-5\), сохраняющие свой знак; в пунктах в) и г) — квадраты, неотрицательные.

4. Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака; отрицательна — если числитель и знаменатель разных знаков; равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не ноль; неположительна, если меньше или равна нулю, неотрицательна, если больше или равна нулю.

а) \(\frac{4}{a^2+5}\)

Если \(a=0\), то \(a^2 + 5\) принимает наименьшее значение \(0^2 + 5 = 5\), тогда дробь \(\frac{4}{a^2+5}=\frac{4}{5}\) принимает наибольшее значение \(\frac{4}{5}\).

Ответ: при \(a=0\).

б) \(\frac{10}{(a-3)^2+1}\)

Если \(a = 3\), то \((a-3)^2+1\)  принимает наименьшее значение

\((3-3)^2 + 1=1\), тогда дробь \(\frac{10}{(a-3)^2+1}\) принимает наибольшее значение \(\frac{10}{0+1}=10.\)

Ответ: при \(a=3\).

Пояснения:

1. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе.

2. Квадрат любого числа неотрицателен: \(t^2\ge0\). Поэтому выражения вида \(a^2+5\) и \((a-3)^2+1\) всегда \(\ge0\) соответствующих постоянных слагаемых 5 и 1.

3. Знаменатель \(a^2+5\) принимает наименьшее значение при \(a^2=0\), а \((a-3)^2+1\) — при \((a-3)^2=0\), то есть при \(a=3\).

4. Подстановка найденных значений даёт наибольшие значения дробей: \(\frac{4}{5}\) и \(10\) соответственно.