Упражнение 20 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{b^2+7}{21}\)

Если \(b= 0\), то \(b^2+7\) принимает наименьшее значение \(0^2 + 7 = 7\), тогда дробь \(\frac{b^2+7}{21}\) принимает наименьшее значение \(\frac{7}{21} = \frac{1}{3} \)

Ответ: при \(b=0\).

б) \(\frac{(b-2)^2+16}{8}\)

Если \(b = 2\), то \((b-2)^2+16\) принимает наименьшее значение

\((2 - 2)^2 + 16 = 16\), тогда дробь \(\frac{(b-2)^2+16}{8}\) принимает наименьшее значение \(\frac{16}{8} = 2\).

Ответ: при \(b=2\).

Пояснения:

Дробь принимает наименьшее значение при наименьшем числителе.

Квадратичные функции \(b^2\) и \((b-2)^2\) неотрицательны и принимают наименьшее значение 0 соответственно при \(b=0\) и \(b=2\). После прибавления чисел (7 или 16) числитель будет наименьшим, что и даёт наименьшие значения дробей.

\(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\)

\( 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = \)

\( =(4x^2 + 4xy + y^2) + 9 =\)

\(=(2x + y)^2 + 9\).

\((2x+y)^2 \ge 0\), тогда

\((2x+y)^2 + 9 \ge 9\), тогда наибольшее значение дроби \(\frac{18}{9} = 2\)

Ответ: 3.

Пояснения:

1. Полный квадрат \((2x+y)^2\) показывает, что знаменатель никогда не меньше 9, а достигает 9 при условии \(2x+y=0\).

2. Для дроби с положительным числителем и минимальным знаменателем значение дроби будет наибольшим, а при росте знаменателя значение стремится к 0.

3. Таким образом, наибольшее значение дроби равно 2, наименьшее стремится к 0.