Упражнение 1217 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 269

\(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения

\(x^2 - \frac68x + \frac n8 = 0\)

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6\)

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\),

\(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\).

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} + \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_1}} =\)

\(=\dfrac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} =\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 6\).

\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6\)

\(\frac{3}{4}:\frac{n}{8} = 6\)

\(\dfrac{3}{_{\color{blue}{1}} \cancel4} \cdot \dfrac{\cancel8  ^{\color{blue}{2}} }{n   } = 6\).

\(\dfrac{6}{n} = 6\)

\(n = 1.\)

Ответ: \(n = 1.\)

Пояснения:

Теорема Виета:

если квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), то для его корней \(x_1\) и \(x_2\) выполняются соотношения:

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\),

\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).

В данной задаче уравнение

\(8x^2 - 6x + n = 0\), поэтому:

\(x_1 + x_2 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) и \(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\).

Также известно, что \(x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6\), а согласно определению степени

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\), тогда

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} + \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_1}} =\)

\(=\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\).

Итак, \(x_1 + x_2 = \dfrac{3}{4}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\),

\(\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\), тогда имеем:

\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6\), откуда \(n = 1\).