Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1021 учебника 2023-2025 (стр. 199):
При каком значении \(a\) многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению
\( (x^2 + x - 1)(x - a), \) не содержит:
а) \(x^2\); б) \(x\)?
№1021 учебника 2013-2022 (стр. 198):
Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
а) \(x^2 - 2xy + y^2 + a^2\);
б) \(4x^2 + a^2 - 4x + 1\);
в) \(9b^2 - 6b + 4c^2 + 1\);
г) \(a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1\);
д) \(x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1\);
е) \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10\).
№1021 учебника 2023-2025 (стр. 199):
№1021 учебника 2013-2022 (стр. 198):
Вспомните:
№1021 учебника 2023-2025 (стр. 199):
\( (x^2 + x - 1)(x - a) = \)
\(= x^3 + x^2 - x - a x^2 - a x + a= \)
\( = x^3 + \bigl(1 - a\bigr)x^2 + \bigl(-1 - a\bigr)x + a. \)
а) \(\;1 - a = 0\)
\(a = 1.\)
б) \(\;-1 - a = 0\)
\(a = -1.\)
Ответ: а) при \(a = 1\) многочлен не содержит \(x^2\); б) при \(a = -1\) многочлен не содержит \(x\).
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1) Стандартный вид многочлена: многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
2) Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).
3) Приведение подобных членов:
\(ax + bx = (a + b)x\).
4) Многочлен не содержит переменную той или иной степени, если коэффициент, стоящий перед этой переменной равен нулю.
№1021 учебника 2013-2022 (стр. 198):
а) \(x^2 - 2xy + y^2 + a^2 = \)
\(=(x^2 - 2xy + y^2) + a^2 = \)
\(=(x - y)^2 + a^2 \ge 0. \)
б) \( 4x^2 + a^2 - 4x + 1 =\)
\( =(4x^2 - 4x + 1) + a^2 =\)
\(=\bigl(2x - 1\bigr)^2 + a^2 \ge 0. \)
в) \( 9b^2 - 6b + 4c^2 + 1 =\)
\( =(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2 =\)
\(=\bigl(3b - 1\bigr)^2 + (2c)^2 \ge 0. \)
г) \( a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1 =\)
\( =(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1) =\)
\(=(a + b)^2 + \bigl(b + 1\bigr)^2 \ge 0. \)
д) \( x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1 =\)
\(= (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1) =\)
\(= (x - y)^2 + (xy - 1)^2 \ge 0. \)
е) \( x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10 =\)
\(= (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) =\)
\(=(x + 1)^2 + (y + 3)^2 \ge 0. \)
Пояснения:
Использованные приёмы:
1. Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
2. Квадрат разности двух выражений.
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)
3. Сумма квадратов всегда неотрицательна:
\(a^2 + b^2 + \dots \ge 0.\)
4. Приведение подобных членов:
\(ax + bx = (a + b)x.\)
5. Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n.\)
а) Учитывая то, что
\( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
б) Учитывая то, что
\(4x^2 - 4x +1 = (2x -1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
в) Учитывая то, что
\(9b^2 -6b +1 = (3b-1)^2\) и
\(4c^2 = (2c)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
г) \(2b^2 = b^2 + b^2\), тогда, учитывая то, что \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) и
\(b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
д) \(- 4xy = -2xy - 2xy\), тогда, учитывая то, что
\(x^2 - 2xy + y^2=(х-y)^2\) и
\(x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy-1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
е) 10 = 1 + 9, тогда, учитывая то, что \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) и
\(y^2+6y+9=(y+3)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.
Вернуться к содержанию учебника