Упражнение 1024 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 111\,111 - 222 = 111 \cdot (1001 - 2) = \)

\(= 111 \cdot 999 = 111 \cdot 111 \cdot 9 = \)

\(=111^2 \cdot 3^2 = (111 \cdot 3)^2=333^2\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Распределительное свойство:

\(ax + ay = a(x+y)\).

2) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n.\)

Через разложение на множители мы сразу получили представление разности в виде квадрата натурального числа.

1. \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25\)

\( (10n + 5)^2 = \)

\(=(10n)^2 + 2\cdot10n\cdot5 + 5^2 = \)

\(=100n^2 + 100n + 25 = \)

\(=100n(n + 1) + 25. \)

Тождество доказано.

Правило: если число оканчивается на 5, его можно записать как \(10n + 5\). Тогда

\( (10n + 5)^2 = 100\,n(n + 1) + 25, \)

то есть нужно перемножить «предшествующую» часть \(n\) и \(n+1\), а затем дописать «25».

1) \(25^2 = (10\cdot2 + 5)^2 = \)

\(=100\cdot2\cdot(2 + 1) + 25 =\)

\(=200\cdot3 + 25 = 600 + 25 = 625\);

2) \(45^2 = (10\cdot4 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot4\cdot(4 + 1) + 25 =\)

\(=400\cdot5 + 25 = 2000 + 25 =2025\);

3) \(75^2 = (10\cdot7 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot7\cdot(7 + 1) + 25 =\)

\(=700\cdot8 + 25 = 5600 + 25 = 5625\);

4) \(115^2 = (10\cdot11 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot11\cdot(11 + 1) + 25 =\)

\(=1100\cdot12 + 25 = \)

\(=13200 + 25 = 13 225\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

3. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x.\)

Доказательство тождества

Берём число в виде \(10n + 5\) и применяем формулу квадрата суммы. Получаем три слагаемых: квадрат десятков, удвоенное произведение и квадрат единиц. Сложение даёт именно \(100n^2 +100n +25\), что равно \(100n(n+1)+25\).

Вывод правила

Поскольку при возведении числа вида \(10n+5\) в квадрат образуется выражение \(100n(n+1)+25\), то для числа, оканчивающегося на 5, нужно:

– взять его «десятки» \(n\), умножить на последующее число \(n+1\);

– к результату прибавить 25 в конце.

Применение правила

Для \(25\) (где \(n=2\)) получаем \(2\cdot3=6\) и прибавляем 25, имеем 625. Аналогично для других чисел:

\(45^2=2025\),

\(75^2=5625\),

\(115^2=13225\).