Упражнение 1020 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 198

\( \bigl(p^2 + c\,q^2\bigr)\,\bigl(r^2 + c\,s^2\bigr)=\bigl(p\,r + c\,q\,s\bigr)^2+c\,\bigl(p\,s - q\,r\bigr)^2 \)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + 2c\,p\,r\,q\,s + c^2q^2s^2 + c\bigl(p^2s^2 - 2p\,s\,q\,r + q^2r^2\bigr)\)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + \cancel{2c\,p\,r\,q\,s} + c^2q^2s^2 + c\,p^2s^2 - \cancel{2c\,p\,r\,q\,s} + c\,q^2r^2\)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2 \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c)=ab + ac.\)

5) Противоположные слагаемые:

при сложении членов с противоположными знаками \(+2c\,p\,r\,q\,s\) и \(-2c\,p\,r\,q\,s\) они взаимно уничтожаются.

Таким образом, обе части тождества приводятся к одному и тому же многочлену, что и доказывает его справедливость.

а) \(x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2 = \)

\(=(x^3 + y^3) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)=\)

\( = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2(x^2 - xy + y^2) =\)

\(=(x^2 - xy + y^2)\,(x + y + 2);\)

б) \(a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2 =\)

\(=(a^3 - b^3) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)=\)

\( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + 3(a^2 + ab + b^2) =\)

\(=(a^2 + ab + b^2)\,(a - b + 3);\)

в) \(a^4 + ab^3 - a^3b - b^4 =\)

\(=(a^4 - b^4) + (ab^3 - a^3b)=\)

\(= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - ab(a^2-b^2)=\)

\(= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - ab)=\)

\( = (a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

г) \(x^4 + x^3y - xy^3 - y^4 =\)

\(=(x^4 - y^4) + (x^3y - xy^3)=\)

\(= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) + xy(x^2 - y^2)=\)

\( = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 + xy)=\)

\( = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2).\)

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Сумма кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2).\)

2. Разность кубов:

\(a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2).\)

3. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b).\)

4. Группировка и вынесение общего множителя.

\(ax + bx) = (a + b)x\).

5. Свойство степени:

\((a^m)^n=a^{mn}\).

а) Сгруппировали:

\(x^3+y^3\) и \(2x^2 - 2xy + 2y^2\).

Применили формулу суммы кубов к первым двум членам, у второй группы вынесли общий множитель 2, затем вынесли общий множитель

\((x^2 - xy + y^2)\).

б) Сгруппировали:

\(a^3 - b^3\) и \(3a^2 + 3ab + 3b^2)\).

Применили формулу разности кубов к первым двум членам, у второй группы вынесли общий множитель 3, затем вынесли общий множитель

\((a^2 + ab + b^2)\).

в) Сначала разложили

\(a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2\) по формуле разности квадратов, а из \(ab^3 - a^3b\) вынесли общий множитель \(ab\), затем вынесли общий множитель \(a^2 - b^2\), который далее разложили по формуле разности квадратов.

г) Сначала разложили

\(x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2\) по формуле разности квадратов, а bp \(x^3y - xy^3\) вынесли общий множитель \(xy\), затем вынесли общий множитель \(x^2 - y^2\), который далее разложили по формуле разности квадратов.