Упражнение 1003 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{27}{64} - y^{12} = \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^3 - \Bigl(y^{4}\Bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(\tfrac{3}{4} - y^4\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2 + \tfrac{3}{4}\,y^4 + (y^4)^2\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{4} - y^4\bigr)\bigl(\tfrac{9}{16} + \tfrac{3}{4}y^4 + y^8\bigr). \)

б) \( -x^{15} + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} - x^{15} =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^3 - \Bigl(x^5\Bigr)^3=\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3} - x^5\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 + \tfrac{1}{3}x^5 + (x^5)^2\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{3} - x^5\bigr)\bigl(\tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{3}x^5 + x^{10}\bigr). \)

в) \( 3\tfrac{3}{8}a^{15} + b^{12} =\tfrac{27}{8}a^{15} + b^{12} =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{2}a^5\bigr)^3 + \bigl(b^4\bigr)^3=\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{2}a^5 + b^4\bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{2}a^5\bigr)^2 - \tfrac{3}{2}a^5\,b^4 + (b^4)^2\Bigr) =\)

\( = \bigl(\tfrac{3}{2}a^5 + b^4\bigr)\bigl(\tfrac{9}{4}a^{10} - \tfrac{3}{2}a^5b^4 + b^8\bigr). \)

г) \(1\tfrac{61}{64}x^{18} + y^3 = \tfrac{125}{64}x^{18} + y^3 =\)

\( =\bigl(\tfrac{5}{4}x^{6}\bigr)^3 + y^3 =\)

\(=\bigl(\tfrac{5}{4}x^6 + y\bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{5}{4}x^6\bigr)^2 - \tfrac{5}{4}x^6\,y + y^2\Bigr)=\)

\( = \bigl(\tfrac{5}{4}x^6 + y\bigr)\bigl(\tfrac{25}{16}x^{12} - \tfrac{5}{4}x^6y + y^2\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формулы суммы кубов и разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\),

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\((a^m)^n=a^{mn}\).

а) \( (y+5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3) =\)

\(=\cancel{y^3} + 125 - \cancel{y^3} - 3y =\)

\(= 125 - 3y. \)

Если \(y = -2\), то:

\( 125 - 3\cdot(-2) = 125 + 6 = 131. \)

б) \( x(x+3)^2 - (x-1)(x^2 + x + 1) =\)

\(=x\bigl(x^2 + 6x + 9\bigr) - (x^3 - 1) =\)

\(=\cancel{x^3} + 6x^2 + 9x - \cancel{x^3} + 1 =\)

\(=6x^2 + 9x + 1. \)

Если \(x = -4\), то:

\( 6\cdot(-4)^2 + 9\cdot(-4) + 1 =\)

\(=6\cdot16 - 36 + 1 = \)

\(=96 - 36 + 1 = 61. \)

в) \( (2p-1)(4p^2 + 2p +1) - p(p-1)(p+1) = \)

\(=(2p)^3 - 1^3 - p(p^2 -1) =\)

\(=8p^3 - 1 - p^3 + p =\)

\(=7p^3 + p - 1\)

Если \(p = 1{,}5\), то:

\(7\cdot1,5^3 + 1,5 - 1 =\)

\(=7\cdot3,375 + 0,5 =\)

\(=23,625+0,5=24,125\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).\)

2) Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).\)

3) Квадрат суммы:

\(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Формула разности квадратов:

\(\;(a-b)(a+b) = a^2 - b^2.\)

5) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

Подстановка: после упрощения подставили заданные значения переменных для получения числового результата.