Упражнение 1005 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 197

а) \((x+1)^3 + x^3 =\)

\(= (x+1+x)\bigl((x+1)^2 - x(x+1) + x^2\bigr) =\)

\(= (2x+1)\bigl(x^2 + 2x +1 - x^2-x + x^2\bigr) =\)

\(=(2x+1)(x^2+x+1). \)

б) \((y-2)^3 - 27 = \)

\(= (y-2-3)\bigl((y-2)^2 + 3(y-2) +9\bigr) =\)

\(= (y-5)\bigl(y^2 - 4y+4 + 3y-6 +9\bigr) =\)

\(=(y-5)(y^2 - y +7). \)

в) \((a - b)^3 + b^3 = \)

\(= (a-b-b)\bigl((a-b)^2 - b(a-b) + b^2\bigr) =\)

\(= a\bigl(a^2 - 2ab +b^2 - ab+b^2 + b^2\bigr) =\)

\(=a\,(a^2 -3ab +3b^2). \)

г) \(8x^3 + (x - y)^3 =\)

\(=(2x)^3 + (x - y)^3=\)

\( = (2x + (x-y))\bigl((2x)^2 -2x(x-y) + (x-y)^2\bigr) =\)

\( = (2x + x-y)\bigl(4x^2 -2x^2+\cancel{2xy} + x^2-\cancel{2xy} +y^2\bigr) =\)

\(=(3x - y)(3x^2 + y^2). \)

д) \(27a^3 - (a - b)^3 \)

\(=(3a)^3 - (a - b)^3 =\)

\(= (3a - (a- b))\bigl((3a)^2 +3a(a-b) + (a-b)^2\bigr) =\)

\(= (3a - a + b)\bigl(9a^2 +3a^2-3ab + a^2-2ab+b^2\bigr) =\)

\(= (2a + b)(13a^2 -5ab + b^2). \)

е) \(1000 + (b - 8)^3 =\)

\(=10^3 + (b - 8)^3 =\)

\(= (10 + (b - 8))\bigl(10^2 -10(b-8) + (b-8)^2\bigr) =\)

\(= (10 + b - 8)\bigl(100 -10b + 80 + b^2-16b+ 64\bigr) =\)

\(=(b + 2)(b^2 -26b +244). \)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формулы суммы кубов и разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\((a^m)^n=a^{mn}\).

3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

\( (x^2 + x - 1)(x - a) = \)

\(= x^3 + x^2 - x - a x^2 - a x + a= \)

\( = x^3 + \bigl(1 - a\bigr)x^2 + \bigl(-1 - a\bigr)x + a. \)

а) \(\;1 - a = 0\)

\(a = 1.\)

б) \(\;-1 - a = 0\)

\(a = -1.\)

Ответ: а) при \(a = 1\) многочлен не содержит \(x^2\); б) при \(a = -1\) многочлен не содержит \(x\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Стандартный вид многочлена: многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

2) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

3) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

4) Многочлен не содержит переменную той или иной степени, если коэффициент, стоящий перед этой переменной равен нулю.