Упражнение 1007 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 197

а) \( (x + 4)(x^2 - 4x + 16) = \)

\( = (x + 4)(x^2 - x\cdot4 + 4^2) = \)

\(=x^3 + 4^3=x^3 + 64. \)

б) \( (3a + 5)(9a^2 - 15a + 25) =\)

\( =(3a + 5)((3a)^2 - 3a\cdot5 + 5^2) =\)

\(= (3a)^3 + 5^3 = 27a^3 + 125. \)

Пояснения:

1. Свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

2. Формула суммы кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

Учитывая свойства степени, определяем то, что каждое из произведений представляет собой сумму кубов двух выражений.

а) \(7a^3 + 7b^3 = 7\,(a^3 + b^3) =\)

\(=7\,(a + b)\,(a^2 - ab + b^2).\)

б) \(2a^4 - 2b^4 = 2\,(a^4 - b^4) =\)

\(=2\,(a^2 - b^2)\,(a^2 + b^2) =\)

\(=2\,(a - b)\,(a + b)\,(a^2 + b^2).\)

в) \(5a^4 + 5b^4 = 5\,(a^4 + b^4).\)

г) \(2{,}5a^6 - 2{,}5b^6 = 2{,}5\,(a^6 - b^6) =\)

\(=2{,}5\,(a^3 - b^3)\,(a^3 + b^3)=\)

\(\;=\;2{,}5\,(a - b)\,(a^2 + ab + b^2)\,(a + b)\,(a^2 - ab + b^2).\)

д) \(1{,}2a^6 + 1{,}2b^6 = 1{,}2\,(a^6 + b^6) =\)

\(=1{,}2\,(a^2 + b^2)\,(a^4 - a^2b^2 + b^4).\)

е) \(3a^8 - 3b^8 = 3\,(a^8 - b^8) =\)

\(=3\,(a^4 - b^4)\,(a^4 + b^4)=\)

\(\;=\;3\,(a^2 - b^2)\,(a^2 + b^2)\,(a^4 + b^4)=\)

\(=3\,(a - b)\,(a + b)\,(a^2 + b^2)\,(a^4 + b^4).\)

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1) Сумма кубов:

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).\)

2) Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\)

3) Свойства степени:

\((a^m)^n=a^{mn}\).

Последовательно выносили общий множитель, затем применяли указанные формулы, добиваясь представления исходного выражения в виде произведения простейших множителей.