Упражнение 1001 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (3a - 2b)^2 - (2a - b)^2 =\)

\(=\bigl((3a - 2b)-(2a - b)\bigr)\,\bigl((3a - 2b)+(2a - b)\bigr)= \)

\(=(3a - 2b - 2a + b)(3a - 2b + 2a - b)=\)

\( =(a - b)(5a - 3b).\)

Если \(a = 1{,}35\), \(b = -0{,}65\), то

\((1{,}35 - (-0{,}65))(5 \cdot 1{,}35 - 3 \cdot (-0{,}65))=\)

\(= (1{,}35 + 0{,}65)(6{,}75 + 1{,}95)=\)

\(= 2\cdot8{,}7=17,4\).

б) \( (2y - c)^2 + (y + 2c)^2 =\)

\(=\bigl(4y^2 - 4yc + c^2\bigr) + \bigl(y^2 + 4yc + 4c^2\bigr) =\)

\(=4y^2 - \cancel{4yc} + c^2 + y^2 + \cancel{4yc} + 4c^2 =\)

\(=5y^2 + 5c^2 = 5(y^2 + c^2). \)

Если \(c = 1{,}2,\; y = -1{,}4 \), то

\( 5\cdot((-1{,}4)^2 + 1{,}2^2) =\)

\(=5\cdot(1{,}96+ 1{,}44) =\)

\(=5\cdot3,4 = 17. \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Квадрат суммы и квадрат разности:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

3. Свойство степени:

\((ab)^n=a^nb^n\).

4. Подобные члены:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Пояснение к пункту а):

Сначала применяем формулу разности квадратов к выражениям \( (3a - 2b)^2\) и \( (2a - b)^2 \). Затем преобразовали каждую из полученных скобок. Далее подставили числовые значения \(a = 1{,}35\), \(b = -0{,}65\) и выполнили вычисления.

Пояснение к пункту б):

 Поскольку в пункте б) стоит сумма квадратов, формулу разности квадратов здесь применить нельзя. Поэтому к первой скобке применяем формулу квадрата разности, а ко второй - квадрата суммы. Затем упростили выражение (привели подобные), подставили числовые значения \(c = 1{,}2,\; y = -1{,}4 \) и выполнили вычисления.

а) \((a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3\)

\((a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b) = (a - b)^3\)

\((a - b)\bigl((a + b)^2 + 2ab - 6ab\bigr)=(a - b)^3\)

\((a - b)(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b)^3\)

\((a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^3\)

\((a - b)(a-b)^2 = (a - b)^3\)

б) \((a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)^3\)

\((a + b)\bigl((a - b)^2 + 2ab + 2ab\bigr) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a + b)^2= (a + b)^3\)

\( (a + b)^3 = (a + b)^3\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Противоположные выражения:

\(b - a = -(a - b)\),

\(-a - b = -(a + b).\)

2) Квадрат суммы и разности:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\((a+b)x + (a+b)y = (a+b)(x+y).\)

4) Подобные слагаемые:

\(ax + bx = (a + b)x.\)

5) Свойство степени:

\(a^na^m=a^{n+m}\).