Упражнение 999 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 16 - 9(p + 3)^2 = \)

\( = 4^2 - (3(p + 3))^2 = \)

\(=\bigl(4 - 3(p + 3)\bigr)\bigl(4 + 3(p + 3)\bigr). \)

\(= (4 - 3p - 9)( 4 + 3p + 9 )=\)

\(= (-3p - 5)(3p + 13). \)

б) \( 9 - 25(4 - x)^2 =\)

\(=3^2 - (5(4 - x))^2 =\)

\(= \bigl(3 - 5(4 - x)\bigr)\bigl(3 + 5(4 - x)\bigr)= \)

\(= (3 - 20 + 5x)(3 + 20 - 5x)=\)

\(= (5x - 17)(23 - 5x). \)

в) \(1 - 36(3y - 1)^2 = \)

\(=1^2 - (6(3y - 1))^2 = \)

\(= \bigl(1 - 6(3y - 1)\bigr)\bigl(1 + 6(3y - 1)\bigr)= \)

\(= (1 - 6(3y - 1))(1 + 6(3y - 1))=\)

\(= (1 - 18y + 6)(1 + 18y - 6)=\)

\(= (7 - 18y)(18y - 5). \)

г) \( 4 - 9(a + b)^2 = \)

\(= 2^2 - (3(a + b))^2 = \)

\(=\bigl(2 - 3(a + b)\bigr)\bigl(2 + 3(a + b)\bigr)= \)

\(= (2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b).\)

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Распределительное свойство умножения:

\(a(b+c) = ab + ac\).

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5. Алгоритм разложения для каждого выражения:

— Шаг 1: Представить данное выражение в виде разности квадратов двух выражений.

— Шаг 2: Применить формулу разности квадратов двух выражений.

— Шаг 3: Упростить получившие множители (раскрыть скобки внутри, используя распределительное свойство умножения, привести подобные члены).

а) \(\;2(a^2 - 1)^2-(a^2 + 3)(a^2 - 3)-\frac12\,(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)=\)

\(=2\bigl(a^4 - 2a^2 + 1\bigr) - (a^4 -9) -0,5\bigl(2a^4 +2a^3 -5a^2 +3a -12\bigr) =\)

\(= \cancel{2a^4}-4a^2 +2-\cancel{a^4}+9 -\cancel{a^4} - a^3 +2,5a^2 -1,5a +6=\)

\(= -a^3 - 1,5a^2 - 1,5a +17. \)

б) \(\;4(m^3 - 3)^2-(m^2 - 6)(m^2 + 6)-9\,(8 - m + m^2)(1 - m)=\)

\(= 4\bigl(m^6 -6m^3 +9\bigr) - (m^4 -36) -9\,(8-8m-m+m^2+m^2-m^3)=\)

\(=4m^6 -24m^3 +\cancel{36} -m^4 +\cancel{36} -\cancel{72} +72m+9m -9m^2 -9m^2 +9m^3=\)

\(= 4m^6-m^4-15m^3-18m^2+81m. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

2) Формула разности квадратов:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)

3) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

4) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

5) Распределительное свойство умножения:

\(a(b+c) = ab + ac.\)

6) Свойства степени:

\(a^ma^n=a^{m+n};\)

\((a^m)^n = a^{mn}.\)

7) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).