Упражнение 979 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5 =\)

\(=1 + 3y + 3y^2 + y^3 + 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4 + 1 + 5y + 10y^2 + 10y^3 + 5y^4 + y^5=\)

\( = (1 + 1 + 1) + (3y + 4y + 5y) + (3y^2 + 6y^2 + 10y^2) + (y^3 + 4y^3 + 10y^3) + (y^4 + 5y^4) + y^5=\)

\(= 3 + 12y + 19\,y^2 + 15\,y^3 + 6\,y^4 + y^5. \)

а) коэффициент при \(y^2\) равен \(19\);

б) коэффициент при \(y^3\) равен \(15\).

Пояснения:

Формула куба двучлена:

\( (u + v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3. \)

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 4; 6; 4; 1.

А двучлена пятой степени:

1; 5; 10; 10; 5; 1.

а) \( 1 - a^2 b^2 = (1 - ab)(1 + ab). \)

б) \( 4x^2 y^4 - 9 = (2x y^2)^2 - 3^2 =\)

\(=(2x y^2 - 3)(2x y^2 + 3). \)

в) \( 0,09x^6 - 0,49y^2 =\)

\(=(0,3x^3)^2 - (0,7y)^2 =\)

\( = (0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y). \)

г) \( 1{,}21a^2 - 0{,}36b^6 =\)

\(=(1{,}1a)^2 - (0{,}6b^3)^2 = \)

\( = (1{,}1a - 0{,}6b^3)(1{,}1a + 0{,}6b^3). \)

д) \( 1\dfrac{7}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2 =\)

\(=\frac{16}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2 =\)

\(=\Bigl(\frac{4}{3}x\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{4}y\Bigr)^2 =\)

\( = \Bigl(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y\Bigr)\Bigl(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\Bigr). \)

е) \( 0{,}01a^2 b^4 - 1 = (0{,}1\,a\,b^2)^2 - 1^2 =\)

\( = (0{,}1\,a\,b^2 - 1)(0{,}1\,a\,b^2 + 1). \)

Пояснения:

Формулы и приёмы, использованные при разложении на множители:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\(((a)^m)^n = a^{mn}\).

3. Алгоритм разложения:

— Шаг 1: Выражаем каждое из слагаемых в виде квадрата некоторого выражения.

— Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов.

Пояснения к каждому пункту:

а) Выражение \(1 - a^2 b^2\) можно видеть как \(1^2 - (ab)^2\). После применения формулы разности квадратов получаем \((1 - ab)(1 + ab)\).

б) \(4x^2 y^4=(2x y^2)^2\), а \(9 = 3^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\((2x y^2 - 3)(2x y^2 + 3)\).

в) \(0,09x^6 = (0,3x^3)^2\),

\(0,49y^2 = (0,7y)^2\).

Применив формулу разности квадратов, получаем

\((0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)\).

г) \(1{,}21a^2 = (1{,}1a)^2\),

\(0{,}36b^6 = (0{,}6b^3)^2\).

Применив формулу разности квадратов, получаем

\((1{,}1a - 0{,}6b^3)(1{,}1a + 0{,}6b^3)\).

д) Сначала переводим смешанное число \(1\dfrac{7}{9}\) в неправильную дробь: \(\frac{16}{9}\). Тогда \(\frac{16}{9}x^2 = \bigl(\frac{4}{3}x\bigr)^2\) и

\(\frac{9}{16}y^2 = \bigl(\frac{3}{4}y\bigr)^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\(\bigl(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y\bigr)\bigl(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\bigr)\).

е) \(0{,}01a^2 b^4 = (0{,}1\,a\,b^2)^2\), а \(1 = 1^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\((0{,}1\,a\,b^2 - 1)(0{,}1\,a\,b^2 + 1)\).