Упражнение 943 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a-1)(a^2+1)(a+1)-(a^2-1)^2-2(a^2-3)=\)

\((a^2-1)(a^2+1) - (a^4 - 2a^2 + 1) - 2a^2 + 6=\)

\(=\cancel{a^4} - 1 - \cancel{a^4} + \cancel{2a^2} - 1 - \cancel{2a^2} + 6=\)

\(=-1-1+6 = 4\) - не зависит от значения переменной.

б) \((a^2-3)^2-(a-2)(a^2+4)(a+2)-6(5-a^2)\)

\(=a^4 - \cancel{6a^2} + 9 - (a^2-4)(a^2+4) - 30 + \cancel{6a^2}=\)

\(=a^4 + 9 - (a^4-16) - 30 =\)

\(=\cancel{a^4} + 9 - \cancel{a^4} + 16 - 30 =\)

\(=9 + 16 - 30 = - 5\) - не зависит от значения переменной.

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) Выражение не зависит от значения переменной, если в ходе преобразований все переменные, входящие в выражение, сокращаются.

2) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - разность квадратов двух выражений.

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

5) Вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

6) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пункте а) сначала использовали то, что \((a-1)(a+1)=a^2-1\), получив \(a^4-1\), затем вычли квадрат \((a^2-1)^2\) и получили \(4\), значит, выражение не зависит от значения переменной \(a\).

В пункте б) аналогично: раскрыли по формуле \((a^2-3)^2\), раскрыли произведение через \((a^2-4)(a^2+4)\), затем вычитание и получили \(-5\), значит, выражение не зависит от значения переменной \(a\).

а) \( 45b + 6a - 3ab - 90 =\)

\(=(6a - 3ab) + (45b - 90) = \)

\(=3a(2 - b) + 45(b - 2) = \)

\(=3a(2 - b) - 45(2 - b) = \)

\(=(2 - b)(3a - 45) =\)

\(=3\,(2 - b)\,(a - 15). \)

б) \( -5xy - 40y - 15x - 120 =\)

\(=(-5xy - 40y) + (-15x - 120) = \)

\(=-5y(x + 8) - 15(x + 8) =\)

\(=(x + 8)(-5y - 15) = \)

\(=-5\,(x + 8)\,(y + 3). \)

в) \( ac^4 - c^4 + ac^3 - c^3 = \)

\(=(ac^4 - c^4) + (ac^3 - c^3) =\)

\(=c^4(a - 1) + c^3(a - 1) =\)

\(=(a - 1)\bigl(c^4 + c^3\bigr) =\)

\(=c^3(a - 1)\,(c + 1). \)

г) \( x^3 - x^2y + x^2 - xy =\)

\(=(x^3 - x^2y) + (x^2 - xy) =\)

\(=x^2(x - y) + x(x - y) = \)

\(=(x - y)\,(x^2 + x) = \)

\(=x\,(x + 1)\,(x - y). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Группировка: разбиваем многочлен на две или более групп, в каждой из которых можно вынести общий множитель.

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— Свойство степени:

\(a^na^m=a^{n+m}.\)

— В пунктах а) и б) использован метод группировки: разбили многочлен на две группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель. После этого внутри скобок появилось общее подвыражение, которое вынесли в качестве второго множителя.

— В пункте а) из первых двух членов \((6a - 3ab)\) вынесли \(3a\), а из вторых двух \((45b - 90)\) вынесли \(45\). Получив скобки \((2 - b)\) и \((b - 2)\), учли знак при приведении к единому множителю \((2 - b)\).

— В пункте б) из \((-5xy - 40y)\) вынесли \(-5y\), из \((-15x - 120)\) вынесли \(-15\), а затем внутри скобок получили \((x + 8)\). Окончательно вынесли общий множитель \(-5\) для приведения к виду \(-5(x + 8)(y + 3)\).

— В пункте в) сразу заметили общий множитель \((a - 1)\) в \(ac^4 - c^4\) и

\(ac^3 - c^3\), затем внутри скобки \(c^4 + c^3\) вынесли \(c^3\), получив \((c + 1)\).

— В пункте г) сгруппировали члены по \(x\) и \(x^2\): в первом двучлене \((x^3 - x^2y)\) вынесли \(x^2\), во втором \((x^2 - xy)\) вынесли \(x\). Получилась общая скобка \((x - y)\), а оставшиеся множители \(x^2 + x\) вынесли из результата и далее распознали его как \(x(x + 1)\).