Упражнение 941 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x(x+2)(x-2) - x(x^2 - 8) = 16;\)

\(x\,(x^2 - 4) - x^3 + 8x=16\)

\(\cancel{x^3} - 4x - \cancel{x^3} + 8x=16\)

\( 4x = 16\)

\(x=\frac{16}{4}\)

\(x = 4 \)

Ответ: \(x = 4 \).

б) \(2y(4y - 1) - 2(3 - 2y)^2 = 48\)

\(8y^2 - 2y - 2(9 - 12y + 4y^2)=48 \)

\(\cancel{8y^2} - 2y - 18 + 24y - \cancel{8y^2} = 48\)

\( 22y - 18 = 48\)

\( 22y = 48+18\)

\(22y = 66 \)

\(y=\frac{66}{22}\)

\(y = 3\)

Ответ: \(y = 3\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \((a - b)(a + b)= a^2 - b^2 \) - разность квадратов двух выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

4) Вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

5) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

6) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

В пункте а) мы последовательно раскрыли скобки, привели подобные члены и получили линейное уравнение \(4x = 16\), откуда \(x = 4\).

В пункте б) сначала раскрыли произведения и квадрат двучлена, затем выполнили вычитание, привели подобные члены и получиль линейное уравнение \(22y = 66\), откуда \(y = 3\).

а) \( 2m^2 - 4m + 2 = \)

\(=2\bigl(m^2 - 2m + 1\bigr) =\)

\(=2\,(m - 1)^2. \)

б) \( 36 + 24x + 4x^2 =\)

\(=4x^2 + 24x + 36 =\)

\(=4\bigl(x^2 + 6x + 9\bigr) =\)

\(=4\,(x + 3)^2. \)

в) \( 8a^3 - 8b^3 =\)

\(=8\bigl(a^3 - b^3\bigr) =\)

\(=8\,(a - b)\bigl(a^2 + ab + b^2\bigr). \)

г) \( 9ax^3 + 9ay^3 =\)

\(=9a\bigl(x^3 + y^3\bigr) =\)

\(=9a\,(x + y)\bigl(x^2 - xy + y^2\bigr). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— Формула квадрата двучлена:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.

— Формула разности кубов:

\( a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2). \)

— Формула суммы кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2). \)

Пояснение к каждому пункту:

а) Сначала вынесли общий множитель \(2\) из трёх членов:

\(2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1)\).

Внутри скобок распознали полный квадрат:

\(m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2\).

Итог: \(2(m - 1)^2\).

б) Точно так же упорядочили члены по степеням \(x\):

\(4x^2 + 24x + 36\).

Вынесли общий множитель \(4\):

\(4(x^2 + 6x + 9)\).

Внутри скобок распознали полный квадрат:

\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).

Итог: \(4(x + 3)^2\).

в) Заметим общий множитель \(8\):

\(8a^3 - 8b^3 = 8(a^3 - b^3)\).

Затем применили формулу разности кубов:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Итог: \(8(a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

г) Сначала вынесли общий множитель \(9a\):

\(9ax^3 + 9ay^3 = 9a(x^3 + y^3)\).

Затем применили формулу суммы кубов:

\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\).

Итог: \(9a(x + y)(x^2 - xy + y^2)\).