Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№924 учебника 2023-2025 (стр. 183):
Разложите на множители:
а) \(8 - m^3\);
б) \(c^3 + 27\);
в) \(64x^3 + 1\);
г) \(1 - \tfrac{1}{8}p^3\);
д) \(m^3 - 27n^3\);
е) \(\tfrac{1}{8}a^3 + b^3\).
№924 учебника 2013-2022 (стр. 185):
(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение \[ (n + 8)(n - 4)\;-\;(n + 3)(n - 2)\;+\;\dots \] пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом \(n\) делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
№924 учебника 2023-2025 (стр. 183):
Вспомните:
№924 учебника 2013-2022 (стр. 185):
№924 учебника 2023-2025 (стр. 183):
а) \( 8 - m^3 = 2^3 - m^3 =\)
\(=(2 - m)\,(2^2 + 2m + m^2) =\)
\(=(2 - m)\,(4 + 2m + m^2). \)
б) \( c^3 + 27 = c^3 + 3^3 =\)
\(=(c + 3)\,(c^2 - 3c + 9). \)
в) \( 64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 =\)
\(=(4x + 1)\,\bigl((4x)^2 - 4x\cdot1 + 1^2\bigr) =\)
\(=(4x + 1)\,(16x^2 - 4x + 1). \)
г) \( 1 - \tfrac{1}{8}p^3 = 1^3 - \bigl(\tfrac{1}{2}p\bigr)^3 =\)
\(=\bigl(1 - \tfrac{1}{2}p\bigr)\,\Bigl(1^2 + 1\cdot\tfrac{1}{2}p + \bigl(\tfrac{1}{2}p\bigr)^2\Bigr) =\)
\(=\Bigl(1 - \tfrac{1}{2}p\Bigr)\,\Bigl(1 + \tfrac{1}{2}p + \tfrac{1}{4}p^2\Bigr). \)
д) \( m^3 - 27n^3 = m^3 - (3n)^3 =\)
\(=(m - 3n)\,(m^2 + 3mn + (3n)^2)= \)
\(=(m - 3n)\,(m^2 + 3mn + 9n^2). \)
е) \( \tfrac{1}{8}a^3 + b^3 = \bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^3 + b^3 =\)
\(=\Bigl(\tfrac{1}{2}a + b\Bigr)\,\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^2 - \tfrac{1}{2}ab + b^2\Bigr) =\)
\(=\Bigl(\tfrac{1}{2}a + b\Bigr)\,\Bigl(\tfrac{1}{4}a^2 - \tfrac{1}{2}ab + b^2\Bigr). \)
Пояснения:
Использованные формулы:
— Сумма кубов:
\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).
— Разность кубов:
\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
При работе с формулами учитывали свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
№924 учебника 2013-2022 (стр. 185):
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + ...\)
1) \( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) =\)
\(= n^2 -4n + 8n -32 - (n^2 - 2n + 3n - 6)= \)
\(= \cancel{n^2} -4n + 8n -32 - \cancel{n^2} + 2n - 3n + 6= \)
\(= 3n -26. \)
2) Пропущенное число должно быть таким, чтобы сумма этого числа и числа \(-26\) делилась нацело на 3.
3) Свободное число может быть равно:
\(-1; 2; 5\) и т.д.
Проверка:
\(3n - 26 + (-1) = 3n - 27 = \)
\(=3\,(n - 9) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + (-1)\)
\(3n - 26 + 2 = 3n - 24 = 3\,(n - 8) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + 2\)
\(3n - 26 + 5 = 3n - 21 = 3\,(n - 7) \) - делится на 3 для любого целого \(n\).
\( (n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + 5\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.
– Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
— Условие кратности: если каждое из чисел \(a\) и \(b\) делится нацело на число \(k\), то и сумма \(a+b\) также делится нацело на число \(k\). Также, если в произведении один из множителей делится на число \(k\), то и произведение делится на \(k\).
В первом шаге мы раскрыли скобки и получили \(3n -26\).
Во втором шаге, провели рассуждения, учитывая условие делимости суммы на число 3.
Наконец, подобрали значения, подходящие для подстановки.
Вернуться к содержанию учебника