Упражнение 891 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 178

а) \(5a(a-8)-3(a+2)(a-2)=\)

\(=5a^2-40a-3(a^2-4)=\)

\(=5a^2-40a-3a^2+12=\)

\(=2a^2-40a+12.\)

б) \((1-4b)(4b+1)+6b(b-2)=\)

\(=1 - 16b^2+6b^2-12b=\)

\(=-10b^2-12b+1.\)

в) \((8p-q)(q+8p)-(p+q)(p-q)=\)

\(=64p^2-q^2-(p^2-q^2)=\)

\(=64p^2-\cancel{q^2}-p^2+\cancel{q^2}=63p^2.\)

г) \((2x-7y)(2x+7y)+(2x-7y)(7y-2x)=\)

\(=4x^2-49y^2-(7y-2x)(7y-2x)=\)

\(=4x^2-49y^2-(7y-2x)^2=\)

\( = 4x^2-49y^2-(49y^2 - 28xy+4x^2)=\)

\( = \cancel{4x^2}-49y^2-49y^2 + 28xy-\cancel{4x^2})=\)

\(=28xy-98y^2.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3)  При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

5) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

6) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В каждом пункте раскрыли скобки по правилам указанным выше, затем привели подобные и получили упрощенное выражение.

а) \( m^2 - 25 = 0\)

\( m^2 - 5^2 = 0\)

\((m - 5)(m + 5) = 0\)

\((m - 5) = 0\) или \((m + 5) = 0\)

\( m = 5\)                    \(m = -5 \)

Ответ: \( m = 5\) или \(m = -5. \)

б) \( x^2 - 36 = 0\)

\( x^2 - 6^2 = 0\)

\((x - 6)(x + 6) = 0 \)

\((x - 6) = 0\) или \((x + 6) = 0 \)

\( x = 6\)                    \(x = -6 \)

Ответ: \( x = 6\) или \(x = -6. \)

в) \( 9x^2 - 4 = 0\)

\( (3x)^2 - 2^2 = 0\)

\((3x - 2)(3x + 2) = 0\)

\( 3x - 2 = 0 \) или \(3x + 2 = 0 \)

\( 3x = 2 \)                \(3x = -2 \)

\(x = \frac{2}{3}\)                \(  x = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \(x = \frac{2}{3}\) или\(  x = -\frac{2}{3}.\)

г) \( 16x^2 - 49 =0\)

\( (4x)^2 - 7^2 =0\)

\((4x - 7)(4x + 7) = 0\)

\(4x - 7 = 0\) или \(4x + 7 = 0 \)

\(4x = 7\)                \(4x = -7 \)

\(x = \frac{7}{4}\)                  \(x = -\frac{7}{4} \)

\(x = 1\frac{3}{4}\)                 \(x = -1\frac{3}{4} \)

Ответ: \(x = 1\frac{3}{4}\) или \(x = -1\frac{3}{4}. \)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.

2. Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Корни уравнения не изменяются, если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

4. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Во всех пунктах левую часть уравнения разложили на два множителя по формуле разности квадратов. Затем, учитывая то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, приравняли каждый множитель к нулю и нашли из полученных линейных уравнений корни исходного уравнения.