Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№848 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Из пунктов A и B, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.
№848 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) \(x^2 + 2x + 2\);
б) \(4y^2 - 4y + 6\);
в) \(a^2 + b^2 - 2ab + 1\);
г) \(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2\).
№848 учебника 2023-2025 (стр. 171):
Вспомните:
№848 учебника 2013-2022 (стр. 171):
Вспомните:
№848 учебника 2023-2025 (стр. 171):
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1 поезд | \(x\) | 5 ч | (5x\) |
| 2 поезд | \(x+10\) | 5 ч | \(5(x+10)\) |
Известно, что через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга.
1) Составим уравнение:
\( 5x + 5(x + 10) = 1020 - 170 \)
\( 5x + 5x + 50 = 850 \)
\( 10x + 50 = 850\)
\(10x = 800\)
\(x = \frac{800}{10}\)
\(x = 80 \) (км/ч) - скорость одного поезда.
2) \(80 + 10 = 90\) (км/ч) - скорость второго поезда.
Ответ: 80 км/ч и 90 км/ч.
Пояснения:
– Обозначили неизвестную скорость медленного поезда через \(x\), тогда скорость быстрого поезда \(x + 10\) .
– За 5 ч медленный поезд прошёл \(5x\), быстрый поезд — \(5(x + 10)\).
– При движении навстречу их суммарный путь за 5 ч равен
\(1020 - 170\).
– Составили уравнение, раскрыли скобки:
\(a(b + c) = ab + ac\).
– Привели подобные:
\(ax + bx = (a+b)x\).
– Перенесли число из левой части уравнения в правую, получили линейное уравнение \(ax=b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
№848 учебника 2013-2022 (стр. 171):
а) \(x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = \)
\(=(x + 1)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).
б) \(4y^2 - 4y + 6 = \)
\(=((2y)^2 - 2\cdot2y\cdot1 + 1) + 5 = \)
\(=(2y - 1)^2 + 5 > 0\) при любом \(x\).
в) \(a^2 + b^2 - 2ab + 1 = \)
\((a^2 - 2ab + b^2) + 1 = \)
\(=(a - b)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).
г) \(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2 =\)
\(=(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 =\)
\(=(3x - y)^2 + 3y^2 + 4 > 0\) при любом \(x\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
При этом учитывали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
а) Представляем \(x^2 + 2x + 2\) как
\(x^2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)^2 + 1. \)
Так как \((x + 1)^2 \ge 0\), то сумма с 1 больше нуля.
б) Представляем \(4y^2 - 4y + 6 \) как
\(((2y)^2 - 2\cdot2y\cdot1 + 1) + 5 = \)
\(=(2y - 1)^2 + 5\)
Так как \((2y - 1)^2 \ge 0\), то сумма с 5 больше нуля.
в) В выражении \(a^2 + b^2 - 2ab + 1\) меняем слагаемые местами и получаем:
\( a^2 - 2ab + b^2 + 1 = (a - b)^2 + 1. \)
Так как \((a - b)^2 \ge 0\), то сумма с 1 больше нуля.
г) Учитывая то, что \(4y^2 = y^2 + 3y^2\), представляем выражение
\(9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2\) как
\((9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 + 4 =\)
\(=(3x - y)^2 + 3y^2 + 4.\)
Так как \((3x - y)^2 \ge 0\) и \(3y^2 \ge 0\), то их сумма с 4 больше нуля.
Вернуться к содержанию учебника