Упражнение 853 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 172

а) \(( * + 2a)^2 = * + 12ab + *\)

\(12ab = 2\cdot{3b}\cdot{2a}\)

\((3b + 2a)^2 = (3b)^2 + 2\cdot{3b}\cdot{2a} + (2a)^2\)

\(( {\color{blue}{3b}} + 2a)^2 = {\color{blue}{9b^2}} +12ab + {\color{blue}{4a^2}}\)

Ответ: вместо «*»: слева \(3b\), справа \(9b^2\) и \(4a^2\).

б) \(( 3x + * )^2 = * + * + 49y^2\).

\(49y^2 = (7y)^2\)

\((3x + {\color{blue}{7y}})^2 = {\color{blue}{9x^2}} + {\color{blue}{42xy}} + 49y^2\)

Ответ: вместо «*»: слева \(7y\), справа \(9x^2\) и \(42xy\).

Пояснения:

Использованные формулы:

Квадрат суммы двух выражений:

\( (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \)

При этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

Надо найти \(u\) так, чтобы при \(v = 2a\) получалось среднее слагаемое \(12ab\). По формуле \(2uv = 12ab\), значит

\(u = 3b\). Тогда \( u^2 = (3b)^2 = 9b^2,\)

\( v^2 = (2a)^2 = 4a^2. \)

И трёхчлен есть

\((3b+2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2\).

Пояснение к пункту б):

Надо найти \(v\) при \(u = 3x\), чтобы

\(v^2 = 49y^2\). Значит \(v = 7y\). Тогда

\( u^2 = (3x)^2 = 9x^2, \)

\(2uv = 2\cdot3x\cdot7y = 42xy. \)

И трёхчлен есть

\((3x+7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2\).

а) \((3 + a)^3 =\)

\(=3^3 + 3\cdot3^2\cdot{a} + 3\cdot3 \cdot{a^2} + a^3 =\)

\(=27 + 27a + 9a^2 + a^3\)

б) \((x - 2)^3 =\)

\(=x^3 - 3\cdot x^2\cdot2 + 3\cdot x\cdot2^2 - 2^3 =\)

\(=x^3 - 6x^2 + 12x - 8\)

Пояснения:

Использованные формулы:

Куб суммы:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \)

Куб разности:

\( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. \)