Упражнение 852 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 172

а) \(* + 56a + 49=\)

\(=* + 2\cdot{4a}\cdot{7} + 7^2=\)

\( = (4a)^2 + 2\cdot{4a}\cdot{7} + 7^2=\)

\(=(4a + 7)^2.\)

\(* = (4a)^2 = 16a^2\).

Ответ: \(* = 16a^2\).

б) \(36 - 12x + *=\)

\(=6^2 - 2\cdot6\cdot{x} + * =\)

\(=6^2 - 2\cdot6\cdot{x} + x^2=\)

\(=(6 - x)^2\)

\(* = x^2\).

Ответ: \(* = x^2\).

в) \(25a^2 + * + \tfrac14 b^2=\)

\(=(5a)^2 + * + (\tfrac12 b)^2=\)

\(=\bigl(5a + \tfrac12 b\bigr)^2 = 25a^2 + 5ab + \tfrac14 b^2\)

\(* = 5ab\).

Ответ: \(* = 5ab\).

г) \(0,01b^2 + * + 100c^2=\)

\(=(0,1b)^2 + * + (10c)^2=\)

\(=(0{,}1b + 10c)^2 = 0{,}01b^2 + 2bc + 100c^2\)

\(* = 2bc\).

Ответ: \(* = 2bc\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

При этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) \(4x^4 = (2x^2)^2\)

б) \(0,25a^4 = (0,5a^2)^2\)

в) \(36m^6 = (6m^3)^2\)

г) \(a^2b^4 = (ab^2)^2\)

д) \(9a^4b^2 = (3a^2b)^2\)

е) \(0,16x^6y^4 = (0,4x^3y^2)^2\)

Пояснения:

Свойства степени:

\((a^m)^n=(a)^{m\cdot{n}};\)

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

\(4\) — это \(2^2\), а \(x^4\)  — это \((x^2)^2\), поэтому

\(4x^4 = (2x^2)^2\).

Пояснение к пункту б):

\(0,25 = 0,5^2\), а \(a^4\) — это \((a^2)^2\),

поэтому \(0,25a^4 = (0,5a^2)^2\).

Пояснение к пункту в):

\(36 = 6^2\), а \(m^6\)  — это \((m^3)^2\), поэтому

\(36m^6 = (6m^3)^2\).

Пояснение к пункту г):

1 = \(1^2\), а \(b^4\) — это \((b^2)^2\), поэтому

\(a^2b^4 = (ab^2)^2\).

Пояснение к пункту д):

\(9 = 3^2\), а \(a^4\)  — это \((a^2)^2\), поэтому

\(9a^4b^2 = (3a^2b)^2\).

Пояснение к пункту е):

\(0,16 = 0,4^2\), степени \(x^6\)  — это \(x^3\), а \(y^4\)  — это \(y^2\), поэтому

\(0,16x^6y^4 = (0,4x^3y^2)^2\).