Упражнение 826 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 169

а) \((100+1)^2 =\)

\(=100^2 + 2\cdot100\cdot1 + 1^2 =\)

\(=10000 + 200 + 1 = 10201.\)

б) \((100-1)^2 =\)

\(=100^2 - 2\cdot100\cdot1 + 1^2 =\)

\(=10000 - 200 + 1 = 9801.\)

в) \(61^2 = (60+1)^2 =\)

\(=60^2 + 2\cdot60\cdot1 + 1^2 =\)

\(=3600 + 120 + 1 = 3721.\)

г) \(199^2 = (200-1)^2 =\)

\(=200^2 - 2\cdot200\cdot1 + 1^2 =\)

\(=40000 - 400 + 1 = 39601.\)

д) \(999^2 = (1000-1)^2 =\)

\(=1000^2 - 2\cdot1000\cdot1 + 1^2 =\)

\(=1000000 - 2000 + 1 = 998001.\)

е) \(702^2 = (700+2)^2 =\)

\(=700^2 + 2\cdot700\cdot2 + 2^2 =\)

\(=490000 + 2800 + 4 = 492804.\)

ж) \(9{,}9^2 = (10-0{,}1)^2 =\)

\(=10^2 - 2\cdot10\cdot0{,}1 + 0{,}1^2 =\)

\(=100 - 2 + 0{,}01 = 98{,}01.\)

з) \(10{,}2^2 = (10+0{,}2)^2 =\)

\(=10^2 + 2\cdot10\cdot0{,}2 + 0{,}2^2 =\)

\(=100 + 4 + 0{,}04 = 104{,}04.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

а–б) Применяли прямые формулы квадрата суммы и квадрата разности к \(100 \pm 1\).

в) Чтобы вычислить \(61^2\), взяли \(61\) = \(60+1\) и использовали формулу квадрата суммы.

г) Чтобы вычислить \(199^2\), взяли \(199 = 200 - 1\) и применили формулу квадрата разности.

д) Чтобы вычислить \(999^2\), взяли \(999 = 1000 - 1\) и применили формулу квадрата разности .

е) Чтобы вычислить \(702^2\), взяли \(702 = 700 + 2\) и применили формулу квадрата суммы.

ж) Чтобы вычислить \(9{,}9^2\), взяли  \(9{,}9=10 - 0{,}1\) и применили формулу квадрата разности.

з) Чтобы вычислить \(10{,}2^2 \), взяли\(10{,}2 = 10 + 0{,}2\) и применили формулу квадрата суммы.

а) \( (x + 1)^2 = (x - 3)^2 + 120 \)

\( x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120 \)

\( \cancel{x^2} + 2x - \cancel{x^2} + 6x = 120 + 9 - 1 \)

\( 8x = 128 \)

\(x=\frac{128}{8}\)

\( x = 16. \)

Ответ: при \( x = 16. \)

б) \( (2x + 10)^2 = 4\,(x - 5)^2 \)

\( 4x^2 + 40x + 100 = 4\,(x^2 - 10x + 25) \)

\( 4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100 \)

\( \cancel{4x^2} + 40x - \cancel{4x^2} + 40x = 100 - 100 \)

\( 80x = 0 \)

\( x = 0. \)

Ответ: при \( x = 0. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

6) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

а) Составили уравнение по условию: квадрат \(x+1\) на 120 больше квадрата \(x-3\). Раскрыли оба квадрата, перенесли слагаемые с переменной в левую часть, без переменной в правую, сократили \(x^2\), получили линейное уравнение \( 8x = 128 \), откуда \(x=16\).

б) Составили уравнение по условию: квадрат \(2x+10\) в 4 раза больше квадрата двучлена \(x-5\). Раскрыли оба квадрата, в правой части уравнения полученный многочлен умножили на 4, перенесли слагаемые с переменной в левую часть, без переменной в правую, сократили \(4x^2\), получили линейное уравнение

\(80x=0\), откуда \(x=0\).