Упражнение 822 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x+y)^2=(y + x)^2=\)

\(=( -x - y )^2=x^2 + 2xy + y^2.\)

б) \((x-y)^2=(y - x)^2=\)

\(=( -y + x )^2=( -x + y )^2=\)

\(=x^2 - 2xy+y^2).\)

Пояснения:

Правила, использованные при преобразованиях:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) - квадрат суммы;

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности;

Квадраты противоположных выражений равны:

\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),

\(( a-b )^2 = (b-a)^2. \)

– Выражения, отличающиеся перестановкой слагаемых \((y+x)\) или взятием общего минуса от \((x+y)\), дают при возведении в квадрат тот же многочлен \((x+y)^2\).

– Выражения, в которых под знаком квадрата стоят \((y-x)\), \((x-y)\) или их отрицания, дают при возведении в квадрат одинаковый результат

\((x-y)^2\).

а) \( 5(3a + 7)^2 =\)

\(=5\bigl(9a^2 + 42a + 49\bigr) =\)

\(=45a^2 + 210a + 245. \)

б) \( -6(4 - b)^2 = -6\bigl(16 - 8b + b^2\bigr) =\)

\(=-96 + 48b - 6b^2. \)

в) \( -3(2 - x)^2 - 10x =\)

\(=-3\bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) - 10x =\)

\(=-3x^2 + 12x - 12 - 10x =\)

\(=-3x^2 + 2x - 12. \)

г) \( 12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8 =\)

\(=12a^2 - 4\bigl(4a^2 - 4a + 1\bigr) + 8 = \)

\(=12a^2 - 16a^2 + 16a - 4 + 8 =\)

\(=-4a^2 + 16a + 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Сначала применили формулу квадрата суммы:

\((3a+7)^2 = 9a^2 + 42a + 49\), затем умножили на 5 каждый член полученного многочлена.

б) Раскрыли квадрат разности:

\((4 - b)^2 = 16 - 8b + b^2\), затем умножили на \(-6\) каждый член полученного многочлена.

в) Вычислили квадрат:

\((2 - x)^2 = x^2 - 4x + 4\), умножили на \(-3\), затем учли вычитание \(10x\) и привели подобные члены \(12x - 10x\).

г) Раскрыли квадрат:

\((1 - 2a)^2 = 4a^2 - 4a + 1\), умножили на \(-4\), добавили \(12a^2\) и число \(8\), затем привели подобные члены при \(a^2\), \(a\).