Упражнение 817 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 168

1) Сторона серого квадрата равна

\(a - b\), его площадь равна\((a - b)^2.\)

2) Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2.\)

Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(a\cdot{b}\), тогда площадь двух таких прямоугольников равна \(2ab\)

Площадь квадрата со стороной \(b\) равна \(b^2.\) Тогда площадь серого квадрата:

\(a^2 - 2ab + b^2.\)

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

Пояснения:

– Рисунок 86 иллюстрирует разбиение большого квадрата на четыре фигуры: квадрат со стороной \(a - b\), два равных прямоугольника \(a\times b\) и малый квадрат со стороной \(b\).

– Площадь большого квадрата — сумма площадей всех этих частей. Вычитая из \(a^2\) площади двух прямоугольников \(2ab\) и малого квадрата \(b^2\), получаем площадь оставшегося квадрата \((a - b)^2\).

– Это наглядно демонстрирует формулу квадрата разности через площади фигур.

а) \((x - 3)^2 + x(x + 9) = \)

\(=x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x=\)

\(= 2x^2 + 3x + 9\).

б) \((2a + 5)^2 - 5(4a + 5) =\)

\(=4a^2 + \cancel{20a} + \cancel{25} - \cancel{20a} - \cancel{25}=\)

\(= 4a^2\).

в) \(9b(b - 1) - (3b + 2)^2 =\)

\(=9b^2 - 9b - (9b^2 + 12b + 4)=\)

\(= \cancel{9b^2} - 9b - \cancel{9b^2} - 12b - 4=\)

\(= -21b - 4\)

г) \((b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b) = \)

\(=b^2 - 8b + 16 + (2b - b^2 - 2 + b)=\)

\(= \cancel{b^2} - 8b + 16 + 2b - \cancel{b^2} - 2 + b=\)

\(= -5b + 14\).

д) \((a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2 =\)

\(=5a + 15 - a^2 - 3a - (a^2 - 2a + 1)=\)

\(= 5a + 15 - a^2 - 3a - a^2 + 2a - 1=\)

\(= -2a^2 + 4a + 14\).

е) \((5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2 =\)

\(=5y - 15 + 2y^2 - 6y - (25 - 20y + 4y^2)=\)

\(= 5y - 15 + 2y^2 - 6y - 25 + 20y - 4y^2=\)

\(= -2y^2 + 19y - 40\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac + ad+bc+bd\).

6) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

7) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Применили формулу квадрата разности: \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\). Затем раскрыли произведение

\(x(x + 9) = x^2 + 9x\). После этого сложили подобные члены:

\(x^2 + x^2 = 2x^2\),

\(-6x + 9x = 3x\).

б) Применили формулу квадрата суммы: \((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25\). Затем раскрыли скобки в

\( -5(4a + 5) = -20a - 25\). При сложении \(20a - 20a = 0\),

\(25 - 25 = 0\), остается \(4a^2\).

в) Раскрыли скобки:

\(9b(b - 1) = 9b^2 - 9b\),

\((3b + 2)^2 = 9b^2 + 12b + 4\).

Поменяли знаки у всех членов полученного многочлена: \(–9b^2 –12b –4\). Затем сложили подобные члены:

\(9b^2 - 9b^2 = 0\),

\(-9b - 12b = -21b\).

г) Раскрыли квадрат:

\((b - 4)^2 = b^2 - 8b + 16\).

Раскрыли произведение:

\((b - 1)(2 - b) = 2b - b^2 - 2 + b\).

Сложили подобные члены:

\(b^2 - b^2 = 0\),

\(-8b + 2b + b = -5b\),

\(16 - 2 = 14\).

д) Раскрыли произведение:

\((a + 3)(5 - a) = 5a + 15 - a^2 - 3a\).

Квадрат: \((a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1\), поменяли знаки у всех членов полученного многочлена:

\(–a^2 +2a –1\).

Сложили подобные члены:

\(-a^2 - a^2 = -2a^2\),

\(5a - 3a + 2a = 4a\),

\(15 - 1 = 14\).

е) Раскрыли произведение:

\((5 + 2y)(y - 3) = 5y - 15 + 2y^2 - 6y\).

Квадрат: \((5 - 2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2\). Поменяли знаки у всех членов полученного многочлена:

–25 +20y –4y^2.

Сложили подобные члены:

\(2y^2 - 4y^2 = -2y^2\),

\(5y - 6y + 20y = 19y\),

\(-15 - 25 = -40\).