Упражнение 816 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 168

а) \((m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2\).

б) \((c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2\).

в) \((x + 9)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot9 + 9^2 =\)

\(=x^2 + 18x + 81\).

г) \((8 - a)^2 = 8^2 - 2\cdot8\cdot a + a^2 =\)

\(=64 - 16a + a^2\).

д) \((a - 25)^2 = \)

\(=a^2 - 2\cdot a\cdot25 + 25^2 =\)

\(=a^2 - 50a + 625\).

е) \((40 + b)^2 = 40^2 + 2\cdot40\cdot b + b^2 =\)

\(=1600 + 80b + b^2\).

ж) \((0{,}2 - x)^2 =\)

\(=(0{,}2)^2 - 2\cdot0{,}2\cdot x + x^2 =\)

\(=0{,}04 - 0{,}4x + x^2\).

з) \((k - 0{,}5)^2 =\)

\(=k^2 - 2\cdot k\cdot0{,}5 + (0{,}5)^2 =\)

\(=k^2 - k + 0{,}25\).

Пояснения:

Формула квадрата суммы:

\[(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2.\]

Формула квадрата разности:

\[(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2.\]

В каждом пункте применили одну из этих формул: подставили \(u\) и \(v\), вычислили квадрат первого и второго слагаемых и двойное произведение, затем упростили численные множители.

а) \(18a + (a - 9)^2 = \)

\(=18a + (a^2 - 18a + 81)=\)

\(=a^2 - \cancel{18a} + 81 + \cancel{18a}=\)

\(=a^2 + 81\).

б) \((5x - 1)^2 - 25x^2 =\)

\(=(25x^2 - 10x + 1) - 25x^2=\)

\(=\cancel{25x^2} - 10x + 1 - \cancel{25x^2}=\)

\(=-10x + 1\).

в) \(4x^2 - (2x - 3)^2 = \)

\(=4x^2 - (4x^2 - 12x + 9)=\)

\(=\cancel{4x^2} - \cancel{4x^2} + 12x - 9=\)

\(=12x - 9\)

г) \((a + 2b)^2 - 4b^2 = \)

\(=(a^2 + 4ab + 4b^2) - 4b^2=\)

\(=a^2 + 4ab + \cancel{4b^2} - \cancel{4b^2}=\)

\(=a^2 + 4ab\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5) Сокращение противоположных членов, так как их сумма равна нулю.

Пункт а): раскрыли квадрат разности \( (a - 9)^2 \), получив \(a^2 - 18a + 81\), затем прибавили \(18a\) и сократили противоположные члены \(-18a + 18a\).

Пункт б): раскрыли квадрат разности \((5x - 1)^2\), получив \(25x^2 - 10x + 1\), затем вычли \(25x^2\) и сократили противоположные члены \(25x^2\).

Пункт в): раскрыли квадрат разности \((2x - 3)^2\), получив \(4x^2 - 12x + 9\), затем из \(4x^2\) вычли полученный многочлен и сократили противоположные члены \(4x^2\).

Пункт г): раскрыли квадрат суммы \((a + 2b)^2\), получив \(a^2 + 4ab + 4b^2\), затем вычли \(4b^2\) и сократили противоположные члены \(4b^2\).