Упражнение 753 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 157

а) \( (1 - x + 4x^2 - 8x^3) + (2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (5x^3 + 8x^2) =\)

\( = 1 - x + 4x^2 - 8x^3 + 2x^3 + x^2 - 6x - 3 - 5x^3 - 8x^2 =\)

\( = (-8x^3 + 2x^3 - 5x^3) + (4x^2 + x^2 - 8x^2) + (-x - 6x) + (1 - 3) \)

\( = -11x^3 - 3x^2 - 7x - 2. \)

б) \( (0,5a - 0,6b + 5,5) -(-0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5) =\)

\( = 0{,}5a - 0{,}6b + 5{,}5 + 0{,}5a - 0{,}4b + 1{,}3b - 4{,}5 =\)

\( = (0{,}5a + 0{,}5a) + (-0{,}6b - 0{,}4b + 1{,}3b) + (5{,}5 - 4{,}5) =\)

\( = a + 0{,}3b + 1. \)

Пояснения:

1. Раскрытие скобок. При вычитании скобок меняем знак всех содержащихся в них членов.

2. Сбор подобных членов. Группируем одночлены по степеням и буквенным множителям:

— в пункте а) по степеням \(x\): \(x^3\), \(x^2\), \(x\), свободные члены;

— в пункте б) по буквенным множителям \(a\), \(b\), и константам.

3. Сложение коэффициентов. Коэффициенты одночленов складываются алгебраически, учитывая знаки.

4. Итоги упрощения: получили многочлен \(-11x^3 - 3x^2 - 7x - 2\) в пункте а) и многочлен \(a + 0{,}3b + 1\) в пункте б).

а) \( 3(x^2 - x + 1) - 0{,}5x(4x - 6) =\)

\(=3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x =\)

\(=x^2 + 3 > 0\), так как \(\,x^2\ge0\).

б) \( y(2 + y - y^3) - \tfrac{2}{3}(6 + 3y + \tfrac{3}{2}y^2) =\)

\(=2y + y^2 - y^4 - \bigl(4 + 2y + y^2\bigr) =\)

\(=-\,y^4 - 4 <0 \), так как

\(\,y^4\ge0\), тогда \(-y^4\le 0\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1.Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен, при этом коэффициенты перемножаются, а степени одноимённых букв складываются:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

2. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

3. Свойство квадрата, а также любой четной степени: для любого числа \(t\) выполнено \(t^2\ge0\).

Комментарий:

В пункте а) выражение преобразовалось к \(x^2+3\), что всегда положительно.

В пункте б) получилось \(-y^4-4\), что всегда отрицательно.