Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№353 учебника 2013-2022 (стр. 96):
Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
№353 учебника 2023-2024 (стр. 104):
Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
№353 учебника 2013-2022 (стр. 96):
Вспомните:
№353 учебника 2023-2024 (стр. 104):
Вспомните:
№353 учебника 2013-2022 (стр. 96):
Дано: окружность(О), отрезок АВ.
Построить: точку М на окружности так, что АМ = ВМ.
Построение:
Доказательство:
В АВМ1: ЕМ1 - медиана и высота по построению, АВМ1 - равнобедренный (свойство равнобедренного треугольника), АМ1 = ВМ1. Аналогично доказывается, что АМ2 = ВМ2, 2 решения.
Ответ: задача может иметь 2 решения, 1 решение или не иметь решений.
Пояснения:
Строим с помощью циркуля окружность произвольного радиуса с центром в точке О и с помощью линейки отрезок АВ.
Далее находим середину отрезка АВ, т.е. строим серединный перпендикуляр. Для этого с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом).
Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q, проведем через эти точки с помощью линейки прямую РQ, которая пересечет отрезок АВ в точке Е и окружность с центром в точке О в точках М1 и М2. РQ - серединный перпендикуляр для отрезка АВ, точка Е - середина отрезка АВ.
Докажем, что точки М1 и М2 - искомые точки, для которых выполняются условия АМ1 = ВМ1 и АМ2 = ВМ2.
Рассмотрим АВМ1: ЕМ1 - медиана, т.к. точка Е - середина АВ по построению, и ЕМ1 - высота, т.к. РQ - перпендикуляр по построению, тогда, учитывая то, что если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника, получим, что АВМ1 равнобедренный с основанием АВ, следовательно, АМ1 = ВМ1 (боковые стороны равнобедренного треугольника). Аналогично доказывается равенство АМ2 = ВМ2.
В данных условиях получили, что на данной окружности можно построить две точки М1 и М2, для которых выполняются условия АМ1 = ВМ1 и АМ2 = ВМ2, т.е. задача будет иметь два решения.
Если перпендикуляр РQ будет касаться окружности, то решение будет одно, если РQ не будет пересекать окружность, то решений не будет.
№353 учебника 2023-2024 (стр. 104):
Вернуться к содержанию учебника