Задание 370 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: ВАС = 60⁰, В и С точки касания с окр. (О, r), r = 5 см.

Найти: ОА.

Решение:

1. ОАВ = ОАС = ВАС : 2 = 60⁰ : 2 = 30⁰ (свойство отрезков касательных к окружности).

2. АВ - касательная, ОВ - радиус, В - точка касания, ОВ АВ (свойство касательной к окружности), АВО - прямой.

3. АВО - прямоугольный, ОАВ = 30⁰, ОА = 2ОВ = 2 • 5 = 10 (см) (свойство прямоугольного треугольника).

Ответ: ОА = 10 см.

Пояснения:

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. По условию ВАС = 60⁰, тогда

ОАВ = ОАС = ВАС : 2 = 60⁰ : 2 = 30⁰.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. По условию АВ - касательная, ОВ - радиус, В - точка касания, следовательно, ОВ АВ, тогда АВО - прямой и АВО - прямоугольный.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. В прямоугольном АВО: ОАВ = 30⁰, ОВ = 5 см, тогда

ОА = 2ОВ = 2 • 5 = 10 (см)