Упражнение 893 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2+y^2-6|x|+2y\leq -1 \)

\[ x^2-6|x|+(y^2+2y+1)\leq 0 \]

\[ x^2-6|x|+(y+1)^2\leq 0 \]

1) При \(x\geq 0\):

\[ x^2-6x+(y+1)^2\leq 0 \]

\[ (x^2-6x+9) - 9+(y+1)^2\leq 0 \]

\[ (x-3)^2+(y+1)^2\leq 9 \]

\( (x-3)^2+(y+1)^2 = 9 \) - окружность с центром в точке \((3; -1)\) и радиусом \(r = 3\).

2) При \(x<0\):

\[ x^2+6x+(y+1)^2\leq 0 \]

\[ (x^2+6x+9)-9+(y+1)^2\leq 0 \]

\[ (x+3)^2+(y+1)^2\leq 9 \]

\( (x+3)^2+(y+1)^2 = 9 \) - окружность с центром в точке \((-3; -1)\) и радиусом \(r = 3\).

б) \( x^2+y^2-6x+2|y|\leq -1 \)

\[ x^2-6x+y^2+2|y|+1\leq 0 \]

\[ (x^2-6x + 9) - 9 +(|y|^2+2|y|+1)\leq 0 \]

\[ (x-3)^2+(|y|+1)^2\leq 9 \]

1) При \(y\geq 0\):

\( (x-3)^2+(y+1)^2\leq 9 \)

\( (x-3)^2+(y+1)^2= 9 \) - дуга окружности с центром в точке \((3; -1)\) и радиусом \(r = 3\).

2) При \(y<0\):

\[ (x-3)^2+(1-y)^2\leq 9 \]

\[ (x-3)^2+(y-1)^2\leq 9 \]

\( (x-3)^2+(y-1)^2= 9 \) - дуга окружности с центром в точке \((3; 1)\) и радиусом \(r = 3\).

Пояснения:

Главная идея в обеих задачах — раскрыть модуль по определению и затем выделить полный квадрат.

Используем правила:

\( |x|= \begin{cases} x, & x\geq 0,\\ -x, & x<0, \end{cases} \)

\(|y|= \begin{cases} y, & y\geq 0,\\ -y, & y<0. \end{cases} \)

Также используем формулы:

\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, \]

\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. \]

В пункте а) модуль стоит только у \(x\), поэтому нужно рассмотреть два случая: правая полуплоскость \(x\geq 0\) и левая полуплоскость \(x<0\).

Сначала переносим \(-1\) в левую часть:

\[ x^2+y^2-6|x|+2y+1\leq 0. \]

Члены с \(y\) удобно свернуть в квадрат:

\[ y^2+2y+1=(y+1)^2. \]

Получаем:

\[ x^2-6|x|+(y+1)^2\leq 0. \]

Если \(x\geq 0\), то \(|x|=x\), и неравенство превращается в

\[ x^2-6x+(y+1)^2\leq 0. \]

Чтобы выделить квадрат по \(x\), прибавляем и вычитаем \(9\):

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]

Тогда получаем круг

\[ (x-3)^2+(y+1)^2\leq 9, \]

но берём только ту его часть, где

\[ x\geq 0. \]

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), и получается:

\[ x^2+6x+(y+1)^2\leq 0. \]

Теперь:

\[ x^2+6x+9=(x+3)^2. \]

Значит, имеем круг

\[ (x+3)^2+(y+1)^2\leq 9, \]

но только при \( x<0. \)

В пункте б) модуль стоит уже у \(y\), поэтому рассматриваются две полуплоскости: верхняя \(y\geq 0\) и нижняя \(y<0\).

Сначала преобразуем неравенство:

\[ x^2+y^2-6x+2|y|+1\leq 0. \]

Если \(y\geq 0\), то \(|y|=y\), и имеем:

\[ x^2+y^2-6x+2y+1\leq 0. \]

Выделяем квадраты:

\( x^2-6x+9=(x-3)^2, \)

\(y^2+2y+1=(y+1)^2. \)

Получаем:

\[ (x-3)^2+(y+1)^2\leq 9, \]

но только для \( y\geq 0. \)

Если \(y<0\), то \(|y|=-y\), и тогда:

\[ x^2+y^2-6x-2y+1\leq 0. \]

Теперь

\[ y^2-2y+1=(y-1)^2. \]

Поэтому получаем:

\[ (x-3)^2+(y-1)^2\leq 9, \]

но только при \( y<0. \)

а) \( \frac{3!}{6!} < 10^{-2} \)

\( \frac{3!}{6!} = \frac{\cancel{3!}}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}} = \frac{1}{6 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{1}{120} \)

\( 10^{-2} = \frac{1}{100} \)

\( \frac{1}{120} < \frac{1}{100} \)

б) \( \frac{15!}{10!}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot\cancel{10!}}{\cancel{10!}} =\)

\(=15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 360360 \)

\( 10^5 = 100000 \)

\( 360360 > 100000 \)

Пояснения:

Основное свойство факториала:

\[ n! = n \cdot (n-1)! \]

Это позволяет сокращать одинаковые множители в числителе и знаменателе.

а) В выражении \( \frac{3!}{6!}\) раскрываем факториал:

\[ 6! = 6 \cdot 4 \cdot 5\cdot3! \]

Сокращаем множитель \(3!\) и получаем \(\frac{1}{120} \).

Представляем степень десяти в виде дроби:

\[ 10^{-2} = \frac{1}{100} \]

Сравниваем дроби:

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь:

\[ \frac{1}{120} < \frac{1}{100} \]

б) В выражении \( \frac{15!}{10!} раскрываем факториал:

\(15! = 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot 10!\)

Сокращаем множитель \(10!\) и получаем \(360360 \).

Степень десяти:

\[ 10^5 = 100000 \]

Сравниваем:

\[ 360360 > 100000 \]