Упражнение 892 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y \leq \dfrac{10}{|x|}\)

\[ x \ne 0 \]

\[ \begin{cases} y\leq\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x > 0,\\[8pt] y \leq -\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x < 0 \end {cases} \]

1) \(y=\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x > 0\)

2) \(y=-\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x < 0\)

б) \( y+\left|\frac{8}{x}\right|\geq 0 \)

\[ y\geq -\left|\frac{8}{x}\right| \]

\[ x\ne 0 \]

\[ \begin{cases} y \geq -\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x > 0,\\[8pt] y \geq\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x < 0 \end {cases} \]

1) \(y=-\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x > 0\)

2) \(y=\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x < 0\)

в) \( |y|-x^2+2x\leq 1 \)

\[ |y|\leq x^2-2x+1 \]

\[ |y|\leq (x-1)^2 \]

\[ \begin{cases} y \leq (x-1)^2, \, \text{при} \, y \ge 0,\\[8pt] -y \leq (x-1)^2, \, \text{при} \, y < 0 \end {cases} \]

\[ \begin{cases} y \leq (x-1)^2, \, \text{при} \, y \ge 0,\\[8pt] y \geq -(x-1)^2, \, \text{при} \, y < 0 \end {cases} \]

1) \(y= (x-1)^2, \, \text{при} \, y \ge 0\) - парабола с вершиной \((1; 0)\), ветви вверх.

2) \(y= -(x-1)^2, \, \text{при} \, y < 0\) - парабола с вершиной \((1; 0)\), ветви вниз.

г) \( |y|+x^2-4x\geq 4 \)

\[ |y|\geq -x^2+4x+4 \]

\[ \begin{cases} y \geq -x^2+4x+4, \, \text{при} \, y \ge 0,\\[8pt] -y \geq -x^2+4x+4, \, \text{при} \, y < 0 \end {cases} \]

\[ \begin{cases} y \geq -x^2+4x+4, \, \text{при} \, y \ge 0,\\[8pt] y \leq x^2-4x-4, \, \text{при} \, y < 0 \end {cases} \]

1) \(y = -x^2+4x+4, \, \text{при} \, y \ge 0\)

\(y=-(x^2 -4x) + 4 \)

\(y=-(x^2-4x+4 - 4) + 4\)

\(y=-(x-2)^2 + 4 + 4 \)

\(y=-(x - 2)^2 + 8\) - парабола с вершиной в точке \((2; 8)\), ветви вниз.

2) \(y = x^2-4x-4, \, \text{при} \, y < 0\)

\(y = x^2-4x + 4 - 4 - 4\)

\(y = (x - 2)^2 - 8\) - парабола с вершиной в точке \((2; -8)\), ветви вверх.

Пояснения:

Во всех пунктах нужно не просто преобразовать неравенство, а понять, какую область на координатной плоскости оно задаёт.

Правила:

\[ |x|= \left\{ \begin{aligned} x, &\quad x\geq 0,\\ -x, &\quad x<0, \end{aligned} \right. \]

\( |y|\leq a\) при \(a\geq 0\) означает

\(-a\leq y\leq a, \)

\( |y|\geq a \) при \(a>0\) означает

\[ y\geq a \quad \text{или}\quad y\leq -a. \]

Также используем выделение полного квадрата:

\[ x^2-2x+1=(x-1)^2, \]

\[ x^2-4x=(x-2)^2-4. \]

В пункте а) дано неравенство

\[ y\leq \frac{10}{|x|}. \]

Здесь \(x=0\) недопустим, потому что делить на нуль нельзя. Граница области — график функции

\[ y=\frac{10}{|x|}. \]

Этот график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси \(Oy\), и расположен выше оси \(Ox\). Так как знак неравенства \(\leq\), нужно взять все точки, лежащие на этом графике и ниже него.

В пункте б) сначала переносим слагаемое:

\[ y+\frac{8}{|x|}\geq 0 \iff y\geq -\frac{8}{|x|}. \]

Снова \(x\ne 0\). Граница — график

\[ y=-\frac{8}{|x|}, \]

то есть две ветви, симметричные относительно оси \(Oy\), но расположенные уже ниже оси \(Ox\). Так как знак \(\geq\), берём все точки на графике и выше него.

В пункте в) нужно преобразовать выражение с модулем:

\( |y|-x^2+2x\leq 1\) откуда

\(|y|\leq x^2-2x+1. \)

Правая часть приводится к квадрату:

\[ x^2-2x+1=(x-1)^2. \]

Получаем:

\[ |y|\leq (x-1)^2. \]

Так как \((x-1)^2\geq 0\), можно раскрыть модуль по правилу:

\[ -(x-1)^2\leq y\leq (x-1)^2. \]

Значит, искомая область состоит из всех точек, расположенных между двумя параболами:

\[ y=(x-1)^2 \quad \text{и} \quad y=-(x-1)^2. \]

Границы входят, потому что неравенство нестрогое.

В пункте г) имеем:

\( |y|+x^2-4x\geq 4\) откуда

\(|y|\geq 4-x^2+4x. \)

Преобразуем правую часть:

\[ 4-x^2+4x=-(x-2)^2+8. \]

Тогда неравенство принимает вид

\[ |y|\geq -(x-2)^2+8. \]

Теперь важно учесть знак правой части.

Если \( -(x-2)^2 + 8 \leq 0, \)

то модуль \(|y|\), который всегда неотрицателен, автоматически будет не меньше этого числа. Значит, в этих значениях \(x\) подходят все точки плоскости.

Если же \( -(x-2)^2+8>0, \)

то условие \( |y|\geq -(x-2)^2+8 \)

означает, что точка должна лежать либо выше верхней дуги

\[ y=-(x-2)^2+8, \]

либо ниже нижней дуги

\[ y=-\bigl(-(x-2)^2+8\bigr). \]

а) \(\frac{20!}{18!}= \frac{20 \cdot 19 \cdot \cancel{18!}}{\cancel{18}!} = 20 \cdot 19 = 380 \)

б) \( \frac{7!}{10!} = \frac{\cancel{7!}}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}} = \frac{1}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{720} \)

в) \( \frac{50!}{49!}=\frac{50 \cdot \cancel{49!}}{\cancel{49!}} = 50 \)

г) \( \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot9 \cdot8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{5! \cdot \cancel{5!}} =\)

\(=\frac{ ^{\color{blue}{2}} \cancel{10} \cdot \cancel9  ^{\color{blue}{3}} \cdot \cancel8 \cdot 7 \cdot 6}{\cancel5 \cdot \cancel4 \cdot \cancel3 \cdot \cancel2 \cdot 1} =2\cdot3\cdot7\cdot6= 252 \)

д) \( \frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{\cancel{12}  ^{\color{blue}{2}} \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot \cancel3 \cdot \cancel2 \cdot 1} =\)

\(=2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \)

Пояснения:

Основное свойство факториала:

\[ n! = n \cdot (n-1)! \]

Это позволяет сокращать одинаковые множители в числителе и знаменателе.

а) Раскрываем факториал:

\[ 20! = 20 \cdot 19 \cdot 18! \]

Сокращаем \( 18! \).

б) Расписываем \( 10! \):

\[ 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \]

Сокращаем \( 7! \).

в) Расписываем:

\[ 50! = 50 \cdot 49! \]

Сокращаем \( 49! \).

г) Расписываем \( 10! \):

\[ 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5! \]

Сокращаем \( 5! \).

д) Расписываем \( 12! \):

\[ 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9! \]

Сокращаем \( 9! \).