Упражнение 880 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x+y+z=14,\\ x+yz=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ 14-y-z+yz=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ yz-y-z+1+13=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y(z-1)-(z-1)=6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ (y-1)(z-1)=6 \end{cases} \)

Разложение числа \(6\) на натуральные делители:

\[ 6=1\cdot 6 \]

\[ 6=2\cdot 3 \]

\[ 6=3\cdot 2 \]

\[ 6=6\cdot 1 \]

1) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=1,\\z-1=6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5,\\ y=2,\\z=7 \end{cases} \)

2) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=2\\z-1=3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=7,\\ y=3,\\z=4 \end{cases} \)

3) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=3\\z-1=2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=7,\\ y=4,\\z=3 \end{cases} \)

4) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=6\\z-1=1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5,\\ y=7,\\z=2 \end{cases} \)

Ответ: \( (5,2,7),\) \( (7,3,4),\) \( (7,4,3),\) \( (5,7,2). \)

Пояснения:

Главная идея решения — выразить одну переменную через другие и подставить её во второе уравнение.

Из первого уравнения системы:

\[ x+y+z=14 \]

можно выразить переменную \(x\):

\[ x=14-y-z. \]

После подстановки во второе уравнение получаем выражение только с переменными \(y\) и \(z\):

\[ 14-y-z+yz=19. \]

После преобразования выражение можно представить в виде произведения:

\[ (y-1)(z-1)=6 \]

Теперь задача сводится к разложению числа \(6\) на множители. Поскольку \(y\) и \(z\) — натуральные числа, рассматриваются только положительные делители.

Для каждого разложения числа \(6\) находятся значения \(y\) и \(z\), после чего по формуле \(x=14-y-z\) вычисляется \(x\).

Таким образом получаются все возможные натуральные решения системы.

1) Пусть \(m\) - масса сливок жирностью 20%. 

Тогда \(3m\)  - масса сливок жирностью 10%.

2) \(0{,}1\cdot3m=0{,}3m\) -  масса жира в сливках жирностью 10%.

3) \(0{,}2\cdot m=0{,}2m\) - масса жира в сливках жирностью 20%.

4) \(0{,}3m+0{,}2m=0{,}5m\) - общая масса жира.

5) \(3m+m=4m\) - общая масса сливок.

6) \(\dfrac{0{,}5m}{4m}\cdot100\%=0{,}125\cdot100\%=12{,}5\%\) - жирность получившихся сливок.

Ответ: \(12,5\%.\)

Пояснения:

Используемые правила:

1) Процент переводится в десятичную дробь: \(10\%=0{,}1,\ 20\%=0{,}2\).

2) Масса жира равна произведению массы сливок на их жирность.

3) При смешивании общая масса равна сумме масс, а общая масса жира — сумме масс жира.

4) Жирность смеси вычисляется по формуле:

\[\text{жирность}=\frac{\text{масса жира}}{\text{общая масса}}\cdot100\%.\]