Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№879 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} x^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+z=8,\\ xy=-z^2. \end{cases} \]
№879 учебника 2014-2022 (стр. 222):
а) Некоторое количество 15%-го раствора соли смешали с таким же количеством 45%-го раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?
б) Некоторое количество 30%-го раствора соли смешали с вдвое большим количеством 15%-го раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?
№879 учебника 2023-2026 (стр. 212):
№879 учебника 2014-2022 (стр. 222):
№879 учебника 2023-2026 (стр. 212):
\( \begin{cases} x^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+z=8,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x+y)^2-2xy-2z^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (8-z)^2+2z^2-2z^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (8-z)^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 8-z=0,\\ x+y=0,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ -y^2=-8^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ y^2=64\end{cases} \)
\( \begin{cases} z=8,\\ x=-8,\\ y=8\end{cases} \) или \( \begin{cases} z=8,\\ x=8,\\ y=-8\end{cases} \)
Ответ: \( (8,-8,8),\; (-8,8,8). \)
Пояснения:
Сначала выпишем основные приёмы, которые использовались в решении.
Формула квадрата суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Если квадрат числа равен нулю, то само число равно нулю:
\[ a^2=0 \Rightarrow a=0. \]
Именно эти два факта позволяют быстро упростить систему.
№879 учебника 2014-2022 (стр. 222):
а) 1) Пусть \(m\) - масса каждого раствора.
Тогда \(0{,}15m\) - масса соли в первом растворе.
\(0{,}45m\) - масса соли во втором растворе.
2) \(0{,}15m+0{,}45m=0{,}6m\) - общая масса соли в двух растворах.
3) \(m+m=2m\) - общая масса раствора.
4) \(\dfrac{0{,}6m}{2m}\cdot100\%=0{,}3\cdot100\%=30\%\) - концентрация соли в полученном растворе.
Ответ: \(30\%\)
б) 1) Пусть \(m\) - масса 30%-го раствора.
Тогда \(2m\) - масса 15%-го раствора.
\(0{,}3m\) - масса соли в первом растворе.
\(0{,}15\cdot2m=0{,}3m\) - масса соли во втором растворе.
2) \(0{,}3m+0{,}3m=0{,}6m\) - общая масса соли.
3) \(m+2m=3m\) - общая масса раствора.
4) \(\dfrac{0{,}6m}{3m}\cdot100\%=0{,}2\cdot100\%=20\%\) - концентрация соли в полученном растворе.
Ответ: \(20\%\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) Масса растворённого вещества равна произведению массы раствора на его концентрацию (в долях единицы).
2) При смешивании растворов масса соли складывается, а общая масса раствора равна сумме масс растворов.
3) Концентрация вычисляется по формуле:
\[\text{концентрация}=\frac{\text{масса соли}}{\text{общая масса раствора}}\cdot100\%.\]
Вернуться к содержанию учебника