Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№876 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Упростите выражение:
а) \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\);
б) \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\).
№876 учебника 2014-2022 (стр. 221):
Отмечая время (в минутах), которое учащиеся затратили на выполнение теста по математике, получили следующие данные:
18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25.
Для этого ряда данных найдите:
а) среднее арифметическое;
б) моду;
в) медиану;
г) размах.
№876 учебника 2023-2026 (стр. 212):
№876 учебника 2014-2022 (стр. 221):
Вспомните, что такое среднее арифметическое, размах, мода и медиана числового ряда.
№876 учебника 2023-2026 (стр. 212):
а) \( \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\)
\(= \sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\)
\(-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\)
\(\small= \sqrt[3]{(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2+1^3}-\)
\(\small-\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3-3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2-1^3}=\)
\(\small= \sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3}=\)
\(= (\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=\)
\(= \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1=2.\)
Ответ: \(2.\)
б) \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)
Пусть:
\(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)
\(x^3=\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)^3=\)
\(\small=\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\bigg)^3+3\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\bigg)^2\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}+\)
\(\small + 3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\cdot\bigg(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)^2+\bigg(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\bigg)^3=\)
\(\small=2+\sqrt{5}+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}+\)
\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}+2-\sqrt{5}=\)
\(\small=4+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{4-5}+\)
\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{4-5}=\)
\(\small=4+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{-1}+\)
\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{-1}=\)
\(\small=4-3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}- 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\)
\(\small=4-3\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)=4-3x.\)
\(x^3+3x-4=0\)
\(x^3-1+3x-3=0\)
\((x-1)(x^2+x+1)+3(x-1)=0\)
\((x^2+x+4)(x-1)=0\)
|
\(\small x^2+x+4=0\) \(\small D=1^2-4\cdot1\cdot4\) \(\small =-15<0\) - корней нет |
или |
\(\small x-1=0\) \(\small x=1\) |
\(\Rightarrow \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1. \)
Пояснения:
Основные формулы, которые здесь нужны:
Куб разности двух выражений:
\( (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \)
Куб суммы двух выражений:
\( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)
Разности квадратов двух выражений:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
Разность кубов двух выражений:
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
№876 учебника 2014-2022 (стр. 221):
а) Среднее арифметическое:
\( \frac{18\cdot2+19+20+23+24\cdot2+25\cdot3}{10} =\)
\( =\frac{36+62+48+75}{10} =\frac{221}{10} = 22,1 \)
б) Мода: \( 25 \)
в) Медиана:
\( \frac{23+24}{2} = \frac{47}{2} = 23{,}5 \)
г) Размах:
\( 25 - 18 = 7 \)
Пояснения:
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
Складываем все значения и делим на их количество:
\[ \frac{221}{10} = 22{,}1 \]
Мода:
Мода — это значение, которое встречается чаще всего.
Число 25 встречается 3 раза — это больше всего.
Медиана:
Медиана — это среднее значение упорядоченного ряда.
Так как элементов 10 (чётное число), берём два средних:
\[ 23 \text{ и } 24 \]
\[ \frac{23+24}{2} = 23{,}5 \]
Размах:
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями:
\[ 25 - 18 = 7 \]
Вернуться к содержанию учебника