Упражнение 872 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(b_1, b_2, b_3\) стороны треугольника, которые являются геометрической прогрессией, тогда 

\(b_1;\; b_2=b_1q;\; b_3=q^2\)

Пусть \( h_1,\; h_2,\; h_3 \) - высоты треугольника, \(S\) - площадь треугольника, тогда:

\( S=\frac12 b_1h_1=\frac12 b_2h_2=\frac12 b_3h_3. \)

Отсюда

\( b_1h_1=b_2h_2=b_3h_3=2S. \)

Значит,

\( h_1=\frac{2S}{b_1}, h_2=\frac{2S}{b_2}, h_3=\frac{2S}{b_3}. \)

\( h_1=\frac{2S}{b_1},h_2=\frac{2S}{b_1q}, h_3=\frac{2S}{b_1q^2}. \)

\(\frac{h_2}{h_1}=\frac{2S}{b_1q}:\frac{2S}{b_1}=\frac{2S}{b_1q}\cdot\frac{b_1}{2S}=\frac{1}{q}\)

\(\frac{h_3}{h_2}=\frac{2S}{b_1q^2}:\frac{2S}{b_1q}=\frac{2S}{b_1q^2}\cdot\frac{b_1q}{2S}=\frac{1}{q}\)

Так как \(q\) - постоянное число, то и число \(\frac{1}{q}\) - тоже постоянное число, а значит, каждый член последовательности \(h_1,\;h_2,\;h_3,\) начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, а следовательно, высоты \(h_1,\;h_2,\;h_3\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(\frac{1}{q}\), что и требовалось доказать.

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. 

По условию стороны треугольника \(b_1,\;b_2,\;b_3\) образуют геометрическую прогрессию. Значит, мы можем записать:

\(b_1;\; b_2=b_1q;\; b_3=q^2\) \((I)\)

Далее используется то, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, то есть, если \(S\) - площадь треугольника, \(h\) - высота треугольника, \(b\) - сторона:

\[ S=\frac12 bh. \]

Так как это один и тот же треугольник, его площадь одна и та же. Поэтому мы можем записать равенство:

\( S=\frac12 b_1h_1=\frac12 b_2h_2=\frac12 b_3h_3. \)

После умножения на \(2\) получаем:

\( b_1h_1=b_2h_2=b_3h_3=2S. \)

Отсюда каждая высота выражается через площадь и соответствующую сторону:

\( h_1=\frac{2S}{b_1}, h_2=\frac{2S}{b_2}, h_3=\frac{2S}{b_3}. \)

То есть высоты обратно пропорциональны сторонам. Это главный смысл задачи: если стороны связаны как геометрическая прогрессия, то и обратные им величины тоже будут связаны похожим образом.

Используя \((I),\) запишем:

\( h_1=\frac{2S}{b_1},h_2=\frac{2S}{b_1q}, h_3=\frac{2S}{b_1q^2}. \)

Далее ищем отношение высот:

\(\frac{h_2}{h_1}=\frac{2S}{b_1q}:\frac{2S}{b_1}=\frac{2S}{b_1q}\cdot\frac{b_1}{2S}=\frac{1}{q}\)

\(\frac{h_3}{h_2}=\frac{2S}{b_1q^2}:\frac{2S}{b_1q}=\frac{2S}{b_1q^2}\cdot\frac{b_1q}{2S}=\frac{1}{q}\)

Так как \(q\) - постоянное число, то и число \(\frac{1}{q}\) - тоже постоянное число, а значит, каждый член последовательности \(h_1,\;h_2,\;h_3,\) начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, а следовательно, высоты \(h_1,\;h_2,\;h_3\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(\frac{1}{q}\), что и требовалось доказать.

Следовательно, если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то и соответствующие им высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.