Упражнение 865 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( y_n=n^2 \) - последовательность квадратов натуральных чисел.

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\dots \]

\( x_n=2n-1 \) - последовательность нечётных чисел:

\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\dots \]

Общие члены:

\( 1,\ 9,\ 25,\ 49,\ 81,\dots \) - квадраты нечётных чисел.

\[ c_n=(2n-1)^2 \]

Пояснения:

По формуле

\[ x_n=2n-1 \]

получаются все нечётные натуральные числа. Действительно, при \(n=1,2,3,4,\dots\) имеем:

\[ x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=5,\ x_4=7,\dots \]

По формуле

\[ y_n=n^2 \]

получаются квадраты натуральных чисел:

\[ y_1=1,\ y_2=4,\ y_3=9,\ y_4=16,\dots \]

Нужно найти общие члены этих двух последовательностей. Это значит, надо найти числа, которые одновременно: являются квадратами и являются нечётными.

Квадрат числа будет нечётным тогда и только тогда, когда само число нечётное. Поэтому среди всех квадратов нужно взять квадраты нечётных чисел:

\[ 1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\dots \]

Нечётное число с номером \(n\) записывается формулой

\[ 2n-1. \]

Тогда соответствующий общий член равен квадрату этого числа:

\[ c_n=(2n-1)^2. \]

Это и есть формула \(n\)-го члена последовательности \((c_n)\).