Упражнение 667 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(S_n=-n^2+3n\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = -(n-1)^2+3(n-1)=\)

\(=-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3=\)

\(=-n^2 +2n -1 + 3n - 3 =\)

\(=-n^2 + 5n - 4\).

2) \(x_n=(-n^2+3n)-\bigl(-n^2 + 5n - 4\bigr)=\)

\(=-\cancel{n^2} + 3n + \cancel{n^2} - 5n + 4 =\)

\(=-2n+4\).

3) \(x_{n+1}-x_n=-2(n+1) + 4 - (-2n + 4) =\)

\(=-\cancel{2n} - 2 + \cancel4 + \cancel{2n} - \cancel4 =-2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

б) \(S_n=2n^2-1\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = 2(n-1)^2-1=\)

\(=2(n^2 - 2n + 1) - 1 =\)

\(=2n^2 - 4n + 2 - 1 =\)

\(=2n^2 - 4n + 1\).

2) \(x_n=(2n^2-1)-\bigl(2n^2 - 4n + 1\bigr)=\)

\(x_n=\cancel{2n^2}-\cancel1-\cancel{2n^2}+4n-2+\cancel1\)

\(=4n-2\)

\(x_{n+1}-x_n=(4(n+1)-2) - (4n - 2) =\)

\(=\cancel{4n} + 4 - \cancel2 - \cancel{4n} + \cancel2 =4\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

в) \(S_n=n^2+2n-8\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = (n-1)^2+2(n-1)-8 =\)

\(=n^2 -\cancel{2n} + 1 + \cancel{2n} -2 - 8=\)

\(=n^2 -9\)

2) \(x_n=(n^2+2n-8)-\bigl(n^2 -9\bigr)=\)

\(=\cancel{n^2}+2n-8-\cancel{n^2}+ 9 =\)

\(=2n+1\).

3) \(x_{n+1}-x_n=(2(n+1)+1) - (2n+1) =\)

\(=\cancel{2n} + 2 + \cancel1 - \cancel{2n} - \cancel1 = 2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

г) \(S_n=6n+5\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = 6(n-1)+5 =\)

\(=6n - 6 + 5 = 6n - 1\).

2) \(x_n=(6n+5)-(6n - 1)=\)

\(=6n + 5 - 6n + 1=6\)

3) \(x_{n+1}-x_n=0\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Член последовательности выражается через суммы:

\[x_n=S_n-S_{n-1}.\]

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна.

Вывод.

Во всех пунктах получилась формула вида \(x_n=an+b\), а значит разность соседних членов постоянна.

\((a_n)\) - последовательность, в которой

\[a_1=-5,\quad a_{k+1}=a_k+10k+5,\]

Доказать:

\[a_n=5n^2-10.\]

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(a_1=5\cdot1^2-10 = 5 - 10 = - 5\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) формула верна:

\[a_k=5k^2-10.\]

При \(n = k + 1\):

\[a_{k+1}=5(k+1)^2-10.\]

\[a_{k+1}=a_k+10k+5=\]

\[=5k^2-10+10k+5=\]

\[=5k^2+10k-5=\]

\[=(5k^2+10k+5)-5-5=\]

\[=5(k^2+2k+1)-10=\]

\[=5(k+1)^2-10.\]

Формула верна при \(n=k+1\).

Значит, \(a_n=5n^2-10\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), необходимо:

а) проверить её при \(n=1\);

б) предположить её верность при

\(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).

2) Формула квадрата суммы:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

3) Подстановка выражения вместо переменной в рекуррентную формулу.

База индукции.

Подставляем \(n=1\) в предполагаемую формулу:

\[a_1=5\cdot 1^2-10=-5.\]

Это совпадает с заданным первым членом последовательности, значит база выполнена.

Индукционный переход.

Предполагаем, что для некоторого номера \(k\) член последовательности вычисляется по формуле

\[a_k=5k^2-10.\]

Следующий член по условию задачи равен

\[a_{k+1}=a_k+10k+5.\]

Подставляем вместо \(a_k\) выражение из индукционного предположения:

\[a_{k+1}=5k^2-10+10k+5.\]

Приводим подобные члены:

\[5k^2+10k-5.\]

Замечаем, что выражение в скобках можно представить как квадрат суммы:

\[k^2+2k+1=(k+1)^2.\]

Тогда:

\[5k^2+10k-5=5(k+1)^2-10.\]

То есть формула верна и для номера \(k+1\).

Вывод.

Так как формула верна при \(n=1\) и из её верности при \(n=k\) следует верность при \(n=k+1\), то последовательность \((a_n)\) при любом натуральном \(n\) задаётся формулой

\[a_n=5n^2-10.\]