Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№582 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 70). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?
№582 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце двадцатой минуты?
№582 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Вспомните:
№582 учебника 2014-2022 (стр. 151):
Вспомните арифметическую прогрессию.
№582 учебника 2023-2026 (стр. 165):
\(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 3\), ... - арифметическая прогрессия.
\(d = 1\)
\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)
1) \(S_n=120\)
\(\dfrac{2\cdot1+1\cdot(n-1)}{2}\,n = 120\)
\(\dfrac{2+n-1}{2}\,n = 120\)
\(\dfrac{n+1}{2}\,n = 120\) \(/\times2\)
\((n+1)n=240\)
\(n^2+n-240=0\)
\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-240)=\)
\(=1+960=961 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{961}=31\)
\(n_1=\dfrac{-1+31}{2\cdot1}=\dfrac{30}{2}=15 \in N\)
\(n_2=\dfrac{-1-31}{2\cdot1}=\dfrac{-32}{2}=-16 \notin N\)
2) \(n = 30\)
\(S_{30}=\dfrac{2\cdot1+1\cdot(30-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{30} ^{\color{blue}{15}} =\)
\(=(2+29)\cdot15=31\cdot15 = 465. \)
Ответ: шары размещены в 15 рядов; для треугольника из 30 рядов нужно 465 шаров.
Пояснения:
В каждом следующем ряду на 1 шар больше, чем в предыдущем, поэтому количество шаров по рядам образует последовательность \(1,2,3,\ldots\), которая является арифметической прогрессией. Общее число шаров равно сумме первых \(n\) натуральных чисел.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:
\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\).
Чтобы узнать, сколько рядов при 120 шарах, приравниваем эту сумму к 120 и решаем квадратное уравнение.
Квадратное уравнение
\(a^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Подходит только корень \(n=15\), так как количество рядов может быть только натуральным числом.
Чтобы найти число шаров для треугольника из 30 рядов, подставляем \(n=30\) в формулу суммы и получаем \(465\).
№582 учебника 2014-2022 (стр. 151):
\((v_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(v_1=50\) м/мин, \(d=50\) м/мин
\(v_n=v_1+(n-1)d\)
\(v_{20}=50+(20-1)\cdot50=\)
\(=50+950=1000\).
Ответ: скорость поезда в конце двадцатой минуты равна 1000 м/мин.
Пояснения:
Так как поезд начал движение от станции, в первую минуту его скорость стала равна 50 м/мин. Далее каждую минуту скорость увеличивается на одно и то же значение — 50 м/мин. Поэтому скорости образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(v_1=50\) и разностью \(d=50\).
Чтобы найти скорость в конце двадцатой минуты, используется формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[v_n=v_1+(n-1)d.\]
Подстановка \(n=20\) даёт искомое значение 1000 м/мин.
Вернуться к содержанию учебника