Упражнение 567 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((2x-1)(x+8)>0\)

\((2x-1)(x+8)=0\)

\(2x-1 =0\)  или  \(x + 8 = 0\)

\(2x = 1\)                 \(x = -8\)

\(x = \frac12\)

\(x =0,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;-8)\cup(0,5;+\infty)\).

б) \((33-x)(16+2x)\le 0\)

\((33-x)(16+2x)= 0\)

\(33-x=0 \)  или  \(16+2x=0\)

\(x=33\)                  \(2x = 16\)

                               \(x = \frac{16}{2}\)

                               \( x=-8\)

Ответ: \(x\in(--\infty; -8] \cup [33; +-\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(a_n=n^2-n-20\)

\(a_n < 0\)

\(n^2-n-20<0\)

\(y = n^2-n-20\) - парабола, ветви вверх.

\(n^2-n-20=0\)

\(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=\)

\(=1+80=81 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{D}=9\).

\(n_1=\dfrac{1-9}{2}=-4,\)

\(n_2=\dfrac{1+9}{2}=5.\)

\(n \in (-4; 5)\) и \(n \in N\), тогда

\(n=1,\ 2,\ 3,\ 4\)

\(a_1=1^2-1-20=-20\)

\(a_2=2^2-2-20=-18\)

\(a_3=3^2-3-20=-14\)

\(a_4=4^2-4-20=-8\)

Пояснения:

Чтобы найти отрицательные члены последовательности, нужно определить, при каких значениях номера \(n\) выполняется неравенство \(a_n<0\).

В данном случае это квадратное неравенство \(n^2-n-20<0\). Сначала находятся корни соответствующего квадратного уравнения \(n^2-n-20=0\). Они равны \(-4\) и \(5\).

Так как ветви параболы направлены вверх, выражение отрицательно между корнями. Но номер члена последовательности — натуральное число, поэтому берутся только значения \(n=1,2,3,4\).

Подставляя эти номера в формулу \(a_n=n^2-n-20\), получаем отрицательные члены последовательности: \(-20,\ -18,\ -14,\ -8\).