Упражнение 489 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0,\\ y + x^2 = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 11,\\ y =- x^2 + 4 \end{cases}\)

\(y = x^2 + 11\) - парабола, полученная из параболы \(y = x^2\), с вершиной в точке \((0; 11)\), ветви вверх.

\(y = - x^2 + 4\) - парабола, полученная из параболы \(y = -x^2\), с вершиной в точке \((0; 4)\), ветви вниз.

Ответ: решений нет.

б) \(\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1,\\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}\)

\((x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1\) - окружность с центром в точке \((-3; -4)\) и радиусом \(r = 1\).

\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((2; 1)\) и радиусом \(r = 2\).

Ответ: решений нет

в) \(\begin{cases} y = |x|,\\ \dfrac{1}{2}x^3 - y = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = |x|,\\ y = \dfrac{1}{2}x^3 \end{cases}\)

\(y = |x|\),   \(y \ge 0\).

\(y = \dfrac{1}{2}x^3\) - кубическая парабола, I и III координатные четверти.

Пояснения:

Для решения систем уравнений графическим способом строят графики каждого уравнения и находят точки их пересечения. Количество точек пересечения графиков уравнений соответствует количеству решений системы.

а) \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0\)

\(x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13 \le 0\)

\(x^2 - 6x +9+ y^2 - 4y + 4 \le 0\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 0 \le 0\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0\)

Данным неравенством задается точка \((3; 2)\)

б) \(x^2 - 4x - y + 5 \ge 0\)

\(x^2 - 4x + 4 - y +1 \ge 0\)

\((x - 2)^2 - y + 1 \ge 0\)

\(-y \ge - (x - 2)^2 - 1\)   \(|\times(-1)\)

\(y \le (x - 2)^2 + 1\)

\(y = (x - 2)^2 + 1\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((2; 1).\)

Неравенство \(x^2 - 4x - y + 5 \ge 0\) задает множество точек параболы \(y = (x - 2)^2 + 1\) и точек под ней.

Пояснения:

Квадрат разности двух выражений:

\( (a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2.\)

Пояснение к пункту а)

Группируем слагаемые по \(x\) и \(y\):

\[x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13 \le 0.\]

Выделим полный квадрат по \(x\):

\[x^2 - 6x = x^2 - 2\cdot3x,\quad добавляем\ 3^2 = 9,\] поэтому получаем \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.\)

По \(y\):

\[y^2 - 4y = y^2 - 2\cdot2y,\quad добавляем\ 2^2 = 4,\] поэтому \((y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4.\)

То есть слагаемое \(13\) раскладываем на слагаемые \(9\) и \(4\):

\(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 \le 0.\)

\((x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0\)

Сумма квадратов неотрицательна: \[ (x - 3)^2 \ge 0,\quad (y - 2)^2 \ge 0, \] и их сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю.

\[ (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3, \] \[ (y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y = 2. \]

Следовательно, неравенство выполняется только для одной точки \((3; 2)\).

Множество решений пункта а) — это единственная точка \((3; 2)\) на плоскости.

Пояснение к пункту б)

Имеем неравенство:

\[x^2 - 4x - y + 5 \ge 0.\]

Выделим квадрат по \(x\):

\(x^2 - 4x = x^2 - 2\cdot2x,\) добавляем  \(2^2 = 4,\) получаем \(x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2.\)

Тогда:

\(x^2 - 4x - y + 5 = (x - 2)^2 - y + 1=\)

\(= (x - 2)^2 - y + 1.\)

Запишем неравенство:

\[(x - 2)^2 - y + 1 \ge 0.\]

Перенесём вправо \((x - 2)^2\) и \(1\):

\[-y \ge - (x - 2)^2 - 1.\]

Умножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства:

\[y \le (x - 2)^2 + 1.\]

Уравнение

\[y = (x - 2)^2 + 1\]

задаёт параболу с вершиной в точке \((2; 1)\), ветви направлены вверх.

Неравенство \(y \le (x - 2)^2 + 1\) означает, что нас интересуют все точки, которые лежат на этой параболе и ниже её (по вертикали). Таким образом, множество решений пункта б) — это вся область на координатной плоскости, расположенная не выше параболы \(y = (x - 2)^2 + 1\), включая саму параболу.