Упражнение 486 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(A(2;3)\)

\[ (2-a)^2+(3-3)^2=16 \]

\[ (2-a)^2=16 \]

\(2 - a =\pm\sqrt{16}\)

\[ 2-a=4 \;\text{или}\; 2-a=-4 \]

\(a = 4 - 2\)         \(a = 4 +2\)

\( a=-2\)             \( a=6 \)

Ответ: при \(a = -2\) и \(a = 6\).

б) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(B(7;-1)\)

\[ (7-a)^2+(-1-3)^2=16 \]

\[ (7-a)^2+16=16 \]

\[ (7-a)^2=16 - 16 \]

\[ (7-a)^2=0 \]

\(7 - a = 0\)

\[ a=7 \]

Ответ: при \(a = 7\).

в) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(C(-2;7)\)

\[ (-2-a)^2+(7-3)^2=16 \]

\[ (a+2)^2+16=16 \]

\[ (a+2)^2=16-16 \]

\[ (a+2)^2=0 \]

\(a + 2 = 0\)

\[ a=-2 \]

Ответ: при \(a = -2\).

г) \((x-a)^2+(y-3)^2=16\)

\(D(1;5)\)

\[ (1-a)^2+(5-3)^2=16 \]

\[ (1-a)^2+4=16 \]

\[ (1-a)^2=12 \]

\[1-a=\pm\sqrt{12} \]

\[1-a=\pm\sqrt{4\cdot3} \]

\[1-a=\pm2\sqrt{3} \]

\[ 1-a=2\sqrt{3} \;\text{или}\; 1-a=-2\sqrt{3} \]

\( a=1-2\sqrt3\)         \( a=1+2\sqrt3 \)

Ответ: при \( a=1-2\sqrt3\) и \( a=1+2\sqrt3 \).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Уравнение окружности с центром в точке \((a;3)\) и радиусом \(4\) имеет вид:

\[ (x-a)^2+(y-3)^2=16. \]

2. Точка принадлежит окружности тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению окружности.

3. После подстановки координат точки получается уравнение относительно параметра \(a\), которое решается как обычное квадратное уравнение вида: \( x^2=k, \) его корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt{k}\).

а) \(x \ge 3\)

б) \(y < -1\)

в) \(1 < x < 4\)

г) \(-3 \le y \le 3\)

Пояснения:

Общие правила:

1) Неравенство вида \(x \ge a\) задаёт вертикальную полуплоскость.

2) Неравенство вида \(y < b\) задаёт горизонтальную полуплоскость.

3) Двойные неравенства, такие как \(1 < x < 4\), задают полосу между двумя параллельными прямыми.

4) Нестрогий знак (\(\le\), \(\ge\)) означает включение границы, строгий — исключение.

Пояснение к пункту а)

Неравенство \(x \ge 3\) означает, что все подходящие точки находятся на прямой \(x = 3\) и правее её. Это правая полуплоскость, включая границу.

Пояснение к пункту б)

Неравенство \(y < -1\) описывает всю область ниже прямой \(y = -1\). Прямая не включена.

Пояснение к пункту в)

Двойное неравенство \(1 < x < 4\) задаёт вертикальную полосу между прямыми \(x = 1\) и \(x = 4\), но сами прямые не входят в решение.

Пояснение к пункту г)

Неравенство \(-3 \le y \le 3\) задаёт горизонтальную полосу между прямыми \(y = -3\) и \(y = 3\), включая обе границы.