Упражнение 484 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2+y^2-2x-4y+5=0 \)

\[ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0 \]

\((x-1)^2+(y-2)^2=0 \)

\( x-1=0\)  и  \( y-2=0 \)

\( x=1\)             \( y=2 \)

График — одна точка \((1;2)\).

б) \( y^2-x^4=0 \)

\( y^2-(x^2)^2=0 \)

\((y - x^2)(y + x^2)=0\)

\(y - x^2 = 0\)  или   \(y + x^2 = 0\)

\( y= x^2\)                  \(y=-x^2 \)

\( y= x^2\) - парабола, ветви вверх.

\( y= -x^2\) - парабола, ветви вниз.

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Выделение полного квадрата:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\)

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2.\)

2. Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

\[ A^2+B^2=0 \Rightarrow A=0,\ B=0. \]

3. Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

4. Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Пояснение к построению:

а) Уравнение сводится к \((x-1)^2+(y-2)^2=0\), значит график состоит из единственной точки \((1;2)\).

б) График состоит из двух парабол: \(y=x^2\) (ветви вверх) и \(y=-x^2\) (ветви вниз), симметричных относительно оси \(Ox\).

а) \(y \ge x\);

\(y = x\)

б) \(y \le x - 1\);

\(y = x - 1\)

в) \(y > \frac14 x - 1\);

\(y = \frac14 x - 1\)

г) \(y < \frac13 x - 3\).

\(y = \frac13 x - 3\).

Пояснения:

Общие правила:

1) Неравенства вида \(y \ge kx + b\) или \(y \le kx + b\) задают полуплоскости, ограниченные прямой \(y = kx + b\).

2) Если знак строгий (\(<\) или \(>\)), прямая не принадлежит множеству решений.

3) Если знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), прямая входит в множество решений.

4) Чтобы определить, какую сторону от прямой заштриховывать, можно подставить любую точку, не лежащую на прямой, например \((0;0)\), если она не лежит на границе.

В учебнике требуется построение графиков, поэтому на координатной плоскости нужно провести каждую прямую и отметить соответствующую полуплоскость.