Упражнение 284 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(80\)% от \(3\) кг

\(0{,}8 \cdot 3 = 2{,}4\) (кг) - олова в исходном слитке.

Пусть добавили \(x\) кг олова, тогда масса нового слитка \(3 + x\) кг, а масса олова в нем \(2{,}4 + x\) кг.

\(2{,}4 + x\) кг - \(94\) %.

\(3 + x\) кг - \(100\) %

\[ \frac{2{,}4 + x}{3 + x} =\frac{94}{100}. \]

\[ 100(2{,}4 + x) =94(3 + x) \]

\[ 2{,}4 + x = 2{,}82 + 0{,}94x \]

\(240 + 100x = 282 + 94x\)

\(100x - 94x = 282 - 240\)

\(6x = 42\)

\(x = \frac{42}{6}\)

\[ x = 7 \]

Ответ: добавили 7 кг олова.

Пояснения:

Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно проценты перевести в десятичную дробь и умножить число на полученную десятичную дробь.

Масса олова в исходном слитке массой 3 кг составляет 80%, значит, масса олова в слитке:

\(0{,}8 \cdot 3 = 2{,}4\) (кг).

Обозначив массу олова добавленного в слиток через \(x\), получим, что масса нового слитка равна \(3 + x\) кг, что составляет 100%, а масса олова в новом слитке равна \(2,4 + x\) кг, что по условию составляет 94%. Значит, можем составить следующую пропорцию:

\[ \frac{2{,}4 + x}{3 + x} =\frac{94}{100}. \]

Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов (умножение крест-накрест), тогда:

\[ 100(2{,}4 + x) =94(3 + x) \]

Выполнив преобразования, находим \[ x = 7. \]

Значит, в слиток добавили 7 кг олова.

а) \(y^{7} - y^{6} + 8y = 8\)

\(y^{7} - y^{6} + 8y - 8 = 0.\)

\(y^{6}(y - 1) + 8(y - 1) = 0.\)

\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0.\)

или \(y - 1 = 0\)

       \(y = 1;\)

или \(y^{6} + 8 = 0\)

       \(y^{6} = -8\) - не имеет корней, так как \(y^{6} \ge 0\).

Ответ: \(y = 1.\)

б) \(u^{7} - u^{6} = 64u - 64\)

\(u^{7} - u^{6} - 64u + 64 = 0\)

\(u^{6}(u - 1) - 64(u - 1) = 0\)

\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\)

или \(u - 1 = 0 \)

       \(u = 1\);

или \(u^{6} - 64 = 0\)

        \(u^{6} = 64\)

        \(u=\pm 2.\)

Ответ: \(u = -2,\; 1,\; 2.\)

Пояснения:

Сначала в каждом уравнении переносим слагаемые из правой части уравнения в левую со сменой знака на противоположный.

 Затем в обоих уравнениях использован приём группировки слагаемых. Мы разбили многочлен на несколько частей так, чтобы в каждой части можно было вынести общий множитель, после чего появился общий множитель для всего многочлена.

В пункте а) уравнение сводится к произведению

\((y - 1)(y^{6} + 8) = 0\).

И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Вторая скобка не может быть равна нулю, потому что \(y^{6} \ge 0\).

4. В пункте б) уравнение сводится к произведению

\((u - 1)(u^{6} - 64) = 0\).

И учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, находим корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю. Из того, что \(u^{6} = 64 = 2^{6}\), получаем \(u = \pm 2\), поскольку чётная степень убирает знак.