Упражнение 1126 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Функция является убывающей - верно.

2) \( x = 3 \) — нуль функции - верно.

3) На промежутке \( (0; 3) \) функция принимает положительные значения - верно.

4) \( f(-3) + f(2) > 0 \) - неверно.

Ответ: 1, 2, 3.

Пояснения:

1) По графику видно, что при увеличении \( x \) значения функции \( f(x) \) уменьшаются. Следовательно, функция является убывающей. Утверждение 1 — верно.

2) Нуль функции — это значение \( x \), при котором \( f(x) = 0 \), то есть точка пересечения графика с осью \( x \). При \( x = 3 \) график пересекает ось \(x\), значит, \( x = 3 \) — нуль функции. Утверждение 2 — верно.

3) На промежутке \( (0; 3) \) график функции находится выше оси \( x \), значит, значения функции положительные. Утверждение 3 — верно.

4) Приблизительно видно, что \( f(-3) < 0 \), а \( f(2) > 0 \), но по величине \( f(-3)\), больше, чем \(f(2) \), следовательно, \( f(-3) + f(2) < 0 \). Утверждение 4 — неверно.

\(x^{2} + px + 1 = 0\)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_1^2 + x_2^2 = 254\)

\(p \) - ?

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = 1. \]

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=254\)

\( (-p)^2 - 2 \cdot 1 =254\)

\(p^2 - 2 = 254\)

\(p^2 = 254 + 2\)

\(p^2 = 256\)

\(p = \pm \sqrt{256}\)

\(p = \pm 16\)

Ответ: \(p = 16\) или \(p = -16.\)

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^2 + px + q = 0\) по теореме Виета выполняется: \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Формула для суммы квадратов корней выводится из тождества:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\),

следовательно,

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \)

Подстановка значений из теоремы Виета позволяет выразить сумму квадратов через коэффициенты уравнения и найти \(p\).