Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1121 учебника 2023-2025 (стр. 251):
Линейная функция задана формулой \(y = kx + 10\), где \(k\) — некоторое число. В каких координатных четвертях расположен график этой функции, если известно, что:
а) \(k > 0;\) б) \(k < 0;\) в) \(k = 0?\)
№1121 учебника 2013-2022 (стр. 255):
Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида \(a+b\sqrt2\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.
№1121 учебника 2023-2025 (стр. 251):
Вспомните:
№1121 учебника 2013-2022 (стр. 255):
Вспомните:
№1121 учебника 2023-2025 (стр. 251):
\(y = kx + 10\) — прямая, которая пересекает ось \(y\) в точке \((0; 10)\).
а) \(k > 0\) - функция возрастает и график расположен в \(I,\; II, \;III\) координатных четвертях.
б) \(k < 0\) - функция убывает и график расположен в \(I,\; II, \;IV\) координатных четвертях.
в) \(k = 0\) - прямая параллельна оси \(x\) и график расположен в \(I,\; II\) координатных четвертях.
Пояснения:
Функцию, которую можно задать формулой вида \(y = kx + b\), \(k\) и \(b\) - некоторые числа, \(x\) - независимая переменная, называют линейной. Графиком линейной функции является прямая.
Коэффициент \(k\) определяет наклон прямой: при \(k > 0\) — функция возрастает, при \(k < 0\) — функция убывает.
Свободный член \(b = 10\) показывает точку пересечения с осью \(Oy\).
Учитывая то, что рассматриваемая прямая пересекает ось \(y\) в точке \((0; 10)\), определяем в каких координатных четвертях расположен график функции.
№1121 учебника 2013-2022 (стр. 255):
Пусть даны числа
\(a_1+b_1\sqrt2\), \(a_2+b_2\sqrt2\).
где \(a_1,b_1,a_2,b_2\) - рациональные числа.
1) \((a_1+b_1\sqrt2)+(a_2+b_2\sqrt2)=\)
\(=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt2= \)
\(=a +b\sqrt2\),
где \(a = a_1 + a_2\) и \(b = b_1+b_2\).
2) \( (a_1+b_1\sqrt2)-(a_2+b_2\sqrt2)=\)
\( =a_1+b_1\sqrt2-a_2-b_2\sqrt2=\)
\(=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\sqrt2= \)
\(=a +b\sqrt2\),
где \(a = a_1 - a_2\) и \(b = b_1-b_2\).
3) \( (a_1+b_1\sqrt2)\cdot(a_2+b_2\sqrt2)\)
\(=a_1a_2+a_1b_2\sqrt2+a_2b_1\sqrt2+2b_1b_2 =\)
\(=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt2= \)
\(=a +b\sqrt2\),
где \(a = a_1a_2+2b_1b_2\),
\(b = a_1b_2+a_2b_1\).
4) \( \frac{a_1+b_1\sqrt2}{a_2+b_2\sqrt2}=\)
\(=\frac{(a_1+b_1\sqrt2)(a_2-b_2\sqrt2)}{(a_2+b_2\sqrt2)(a_2-b_2\sqrt2)} =\)
\(=\frac{a_1a_2-a_1b_2\sqrt2+a_2b_1\sqrt2-2b_1b_2=}{\,a_2^{2}-2b_2^{2}\,}= \)
\(=\frac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)\sqrt2}{\,a_2^{2}-2b_2^{2}\,}= \)
\(=\frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2^2-2b_2^2} +\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\sqrt2=\)
\(=a +b\sqrt2\),
где \(a = \frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\),
\(b = \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\).
Пояснения:
Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, поэтому коэффициенты при 1 и при \(\sqrt2\) в формулах для суммы/разности/произведения остаются рациональными.
Для частного используется сопряжённый знаменатель \(a_2-b_2\sqrt2\).
Вернуться к содержанию учебника