Упражнение 1108 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = \dfrac{x - \sqrt{x+6}}{x+5}\).

1. \( \begin{cases}x+6 \geq 0,\\ x+5 \neq 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases}x \geq -6,\\ x\neq -5 \end{cases} \)

\(\color{blue}D=[ -6;-5)\cup(-5; +\infty)\).

2.  \(x - \sqrt{x+6} = 0\)

\(x = \sqrt{x+6}\)

\(x^2 = x + 6, x\geq0\)

\(x^2 - x - 6 = 0\)

\(D = b^2-4ac=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=1+24=25\),  \(\sqrt{D}=5\)

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1  = \dfrac{1+5}{2}=3\)

\(x_2= \dfrac{1-5}{2}=-2\) - не подходит.

Ответ: \(D=[ -6;-5)\cup(-5; +\infty)\); нуль функции \(3\).

б) \(y = \dfrac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}\).

1.  \(10-6x \geq 0\)

\(-6x \geq -10\)

\( x \leq \frac{10}{6}\)

\( x \leq \frac{5}{3}\)

\( x \leq 1\frac{2}{3}\)

\(2x - \sqrt{10-6x} \neq 0\).

Решим:

\(2x = \sqrt{10-6x}\)

\(4x^2 = 10-6x\)

\(4x^2+6x-10=0\)

\(D =b^2-4ac= 6^2 - 4\cdot4\cdot(-10) =\)

\(=36+160=196\); \(\sqrt{D}=14\)

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1 = \dfrac{-6 + 14}{8}=\dfrac{8}{8}=1\)

\(x_2 = \dfrac{-6 - 14}{8}= \dfrac{-20}{8}=-\frac{5}{2}=-2,5\) - не подходит, так как при подстановке этого значения в равенство \(2x = \sqrt{10-6x}\), получим отрицательное значение корня, что невозможно,\(\Rightarrow x\neq1\).

\(\color{blue}D=(-\infty; 1) \cup(1; 1\tfrac{2}{3}] \).

2. Нули функции:

\(4x^2+25x=0\)

\(x(4x+25)=0\)

\(x=0\) или \(4x+25=0\)

                   \(4x=-25\)

                   \(x=-\frac{25}{4}\)

                   \(x=-6,25\)

Ответ: \(D=(-\infty; 1) \cup(1; 1\tfrac{2}{3}] \); нули функции  \(0;-6,25.\)

Пояснения:

Для поиска области определения учитываем: — подкоренное выражение должно быть неотрицательным; — знаменатель не равен нулю.

Для нахождения нулей функции решаем уравнение числитель = 0, но проверяем, чтобы найденные корни не противоречили области определения и не обращали знаменатель в ноль.

\( x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-7x+4 = 0\)

\(x^{4}-4x^{2}+4=5x^{3}+7x \)

\((x^2 - 2)^2 = x(5x^2 + 7)\)

\((x^2 - 2)^2 \ge 0\),  \(5x^2 + 7 > 0\),

поэтому \(x \ge 0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве сначала используем то, что корни уравнения не изменятся, если компоненты уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив их знаки на противоположные. Получим:

\(x^{4}-4x^{2}+4=5x^{3}+7x \).

Далее в левой части уравнения применяем формулу квадрата разности двух выражений, а в правой выносим общий множитель за скобки:

\((x^2 - 2)^2 = x(5x^2 + 7)\).

Квадрат любого числа является неотрицательным числом, значит, \((x^2 - 2)^2 \ge 0\),  \(5x^2 + 7 > 0\). А левая и правая части уравнения должны быть одного знака, следовательно, \(x \ge 0\), так как только в этом случае произведение в правой части будет неотрицательным числом.